ARC163D Sum of SCC 题解

ARC163D

发现这个竞赛图一定能被分为两个集合 $A$，$B$。满足 $\mathrm{\forall }u\in A,v\in B$，均有 $u\to v\in E$。答案就是划分这两个集合的方案数。

证明：

首先，竞赛图缩完点后一定是一条链，对强连通分量进行标号，满足编号小的强连通分量指向编号大的强连通分量。不妨令竞赛图 $G$ 缩完点后的强连通分量编号分别为 $a_1,a_2\dots a_k$。则这个图 $G$ 存在 $k$ 个 $i$ 能分出两个满足条件的集合，即 $\{a_1\dots a_i\}$ 和 $\{a_{i+1}\dots a_k\},i\in [1,k]$。而分出的 $k$ 种集合 $A$，$B$ 是与其形成双射关系的，故可转化。

这时就很好用动态规划求解了，定义 $f_{i,j,k}$ 表示 $i$ 个点的竞赛图中，$A$ 集合有 $j$ 个点，有 $k$ 条边满足 $u<v$ 的方案数。

采用刷表法，考虑转移。

若第 $i+1$ 个点在 $A$ 中，内部有 $c$ 条边连向 $i+1(c\le j)$，则对 $f_{i+1,j+1,k+c}$ 产生贡献。

若第 $i+1$ 个点在 $B$ 中，内部有 $c$ 条边连向 $i+1(c\le i-j)$，则对 $f_{i+1,j,k+j+c}$ 产生贡献。

可得到方程：

$f_{i+1,j+1,k+c}\leftarrow f_{i+1,j+1,k+c}+f_{i,j,k}\times {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{c})}$

$f_{i+1,j,k+j+c}\leftarrow f_{i+1,j+1,k+j+c}+f_{i,j,k}\times {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-j}{c})}$

答案容易得到：$\sum _{i=0}^{n-1}{f}_{n,i,m}$。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n^5)$。

空间复杂度：$\mathcal{O}(n^4)$。

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