P5313 [Ynoi2011] WBLT 题解

P5313

看到值域比较，又支持离线，可以想到莫队和桶。

考虑先将桶按 $b$ 分段，将每段分别进行按位与运算，做完第 $i$ 段时用于运算的桶全都为 $0$，就可以直接得到答案。这显然可以用 bitset 优化。但是 STL 的 bitset 不支持分裂操作，所以需要手写。

当 $b$ 较大时时间复杂度为 $\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m{\displaystyle \frac{V}{b}}\times {\displaystyle \frac{b}{w}})$（不考虑排序）。

但是发现当 $b<w$ 时时间复杂度是错的，此时就变为了 $\mathcal{O}(n\sqrt{m}+m{\displaystyle \frac{V}{b}})$，因为这时候小段太短了，bitset 的压位就失去了作用。

现在考虑 $b<64$ 的情况。

由于 $b$ 很小，考虑对于每一个 $b\in [1,w-1])$ 做一遍莫队。

这时就只需在 $\mathrm{mod}b$ 的位置加 $1$，即维护 $b$ 剩余类。又发现 $\mathrm{mod}b$ 的值较小，直接对每一个 $i$ 维护其 $\text{mex}$ 即可，最后的答案就是 $max\{\text{mex}\}$，对于每一个 $i$ 求 $\text{mex}$，依然可以用 bitset 优化。

这一部分的时间复杂度为 $\mathcal{O}(\sum _{i=1}^{w-1}(n\sqrt{cnt{q}_i}+i{\displaystyle \frac{V}{i}}\times {\displaystyle \frac{1}{w}}))$，由均值不等式 ${\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}}\le \sqrt{{\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}{n}}}$ 可得这部分的时间复杂度上界为 $\mathcal{O}(n\times w\sqrt{{\displaystyle \frac{\sum (\sqrt{cnt{q}_i}{)}^2}{w}}}+V)$，即 $\mathcal{O}(n\sqrt{mw}+V)$，其中的 $\sqrt{w}$ 为常数。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n\sqrt{m}+{\displaystyle \frac{mV}{w}})$

代码：

const int N = 1e5 + 10, V = 1e5 + 1, MOD = 63, W = 64, bit = 6;
int n, m, len, cq, nowb;
int a[N], cnt[N], ans[N];
ull filter[W];
struct que {
	int l, r, b, id;
} q[N];
bool cmp(que a, que b) {
	int x = a.l / len, y = b.l / len;
	if (x == y) {
		if (x & 1) return a.r < b.r;
		return a.r > b.r;
	}
	return a.l < b.l;
}
vector<que> qb[W];

struct bitsett {
  int siz;
	vector<ull> v;
	void reset() { for (int i = 0; i <= siz; i++) v[i] = 0; }
	void set() { for (int i = 0; i <= siz; i++) v[i] = ~0ull; }
	void set1(int x) { v[x >> bit] |= (1ull << (x & MOD)); }
	void set0(int x) { v[x >> bit] &= (~(1ull << (x & MOD))); }
	void flip() { for (int i = 0; i <= siz; i++) v[i] = ~v[i]; }
	void operator &= (const bitsett &a) { for (int i = 0; i <= siz; i++) v[i] &= a.v[i]; }
	int mex() { for (int i = 0; ; i++) if (~v[i]) return i << bit | __builtin_ctzll(~v[i]); }
	void init(int x) {
		v.resize((x >> bit) + 2);
		siz = x >> bit;
		reset();
	}
	bool any() {
		for (int i = 0; i <= siz; i++) if (v[i]) return 1;
		return 0;
	}
};
bitsett cur, res, bl[1605], blb[W + 5];
void split(int len) {
	for (int i = 0; i <= V / len + 2; i++) bl[i].init(len);
	int ned = bl[0].siz, bg = 0, np = 0, num = 0;
	for (int i = 0; i <= cur.siz; i++)
		if (np == ned) {
			if (bg + (len & MOD) <= MOD) {
				bl[num].v[np] = (cur.v[i] & (filter[bg + (len & MOD) - 1] - (bg ? filter[bg - 1] : 0))) >> bg;
				i--;
			}
			else if (i != cur.siz) {
				bl[num].v[np] = (cur.v[i] >> bg) | ((cur.v[i + 1] & filter[bg + (len & MOD) - MOD]) << (W - bg));
			} else
				bl[num].v[np] = (cur.v[i] >> bg);
			bg = (bg + (len & MOD)) & MOD, np = 0, num++;
		} else {
			if (bg == 0) bl[num].v[np] = cur.v[i];
			else if (i != cur.siz) bl[num].v[np] = (cur.v[i] >> bg) | ((cur.v[i + 1] & filter[bg - 1]) << (W - bg));
			else bl[num].v[np] = cur.v[i] >> bg;
			np++;
		}
}
void add1(int x) {
	cnt[x]++;
	if (cnt[x] == 1) cur.set1(x);
}
void del1(int x) {
	cnt[x]--;
	if (cnt[x] == 0) cur.set0(x);
}
void add2(int x) {
	cnt[x]++;
	if (cnt[x] == 1) blb[x % nowb].set1(x / nowb);
}
void del2(int x) {
	cnt[x]--;
	if (cnt[x] == 0) blb[x % nowb].set0(x / nowb);
}

int main() {
	filter[0] = 1;
	for (int i = 1; i < W; i++) filter[i] = filter[i - 1] + (1ull << i);
	cin >> n; 
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
	cin >> m;
	for (int i = 1, l, r, b; i <= m; i++) {
		cin >> l >> r >> b;
		if (b > 63) q[++cq] = (que){l, r, b, i};
		else qb[b].pb((que){l, r, 0, i});
	}
	len = n / sqrt(cq) + 1;
	sort(q + 1, q + cq + 1, cmp);
	cur.init(V);
	for (int i = 1, l = 1, r = 0; i <= cq; i++) {
		while (l > q[i].l) add1(a[--l]);
		while (r < q[i].r) add1(a[++r]);
		while (l < q[i].l) del1(a[l++]);
		while (r > q[i].r) del1(a[r--]);
		split(q[i].b);
		res.init(q[i].b);
		res.flip();
		for (int j = 0; ; j++) {
			res &= bl[j];
			if (!res.any()) {
				ans[q[i].id] = j;
				break;
			}
		}
	}
	int mxb = 63;
	for (int i = 1; i <= mxb; i++) {
		if (qb[i].size() == 0) continue;
		memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
		nowb = i;
		len = n / sqrt(qb[i].size()) + 1;
		sort(qb[i].begin(), qb[i].end(), cmp);
		for (int j = 0; j < i; j++) blb[j].init(V / i + 1);
		for (int j = 0, l = 1, r = 0; j < (int)(qb[i].size()); j++) {
			while (l > qb[i][j].l) add2(a[--l]);
			while (r < qb[i][j].r) add2(a[++r]);
			while (l < qb[i][j].l) del2(a[l++]);
			while (r > qb[i][j].r) del2(a[r--]);
			for (int k = 0; k < i; k++)
				ans[qb[i][j].id] = max(ans[qb[i][j].id], blb[k].mex());
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) cout << ans[i] << '\n';
	return 0;
}