UVA12716 GCD等于XOR GCD XOR 题解

UVA12716

一道挺有意思的位运算的题。

$gcd(a,b)$ 与 $a\oplus b$ 本来是没有什么联系的，也不好直接转化。

那么就需要一个中间数进行转化，一般来说会是一个临界值，否则不好找答案。

先观察 $gcd(a,b),a⩽b$，可得 $gcd(a,b)=gcd(b,a-b)⩽a-b$。

然后观察 $a\oplus b$，由异或的性质易得 $a-b⩽a\oplus b⩽a+b$。

故当 $gcd(a,b)=a\oplus b$ 时，$gcd(a,b)=a\oplus b=a-b$。

我们可以提前预处理，先枚举 $gcd(a,b)$，然后枚举 $a-b$ 就可以了。

令 $V=max\{a\}$，则时间复杂度为 $\mathcal{O}(V\log V+T)$。

代码：

const int N = 3e7 + 5;
int n;
int f[N];

void init() {
	for (int i = 1; i < N / 2; i++)
		for (int j = i * 2; j < N; j += i) {
		    int k = j - i;
		    if ((j ^ k) == i) f[j]++;
		}
	for (int i = 1; i < N; i++) f[i] += f[i - 1];
}

int main() {
	init();
	int T = read();
	for (int i = 1; i <= T; i++) {
		n = read();
		printf("Case %d: %d\n", i, f[n]);
	}
	return 0;
}