CF429D Tricky Function 题解

CF429D

令 $s u m_{i}$ 表示 $\sum_{j = 1}^{i} a_{j}$ 。

则 $g (i, j) = (s u m_{j} - s u m_{i})$ 。

$f (i, j) = (i - j)^{2} + g (i, j)^{2} = (i - j)^{2} + (s u m_{i} - s u m_{j})^{2}$

所以 $f (i, j) = (i - j)^{2} + (s u m_{i} - s u m_{j})^{2}$ 。

$f (i, j)$ 很像两点间距离公式。

即求坐标为 $(i, s u m_{i})$ 和 $(j, s u m_{j})$ 两点的距离。

求 $f (i, j)$ 的最小值，就是求这 $n$ 个点中的最近点对。

因为 $n ⩽ 10^{5}$ ，朴素的 $O (n^{2})$ 的暴力算法肯定过不去。

于是要求 $O (n \log n)$ 的时间复杂度。

我们可以使用分治进行求解。

如果不知道 $O (n \log n)$ 的分治求解平面最近点对的话，
请先完成这道题和这道题。

注意：
由于点 $i$ 的纵坐标 $y_{i} = s u m_{i}$ ，则 $y_{i} \in [- 10^{9}, 10^{9}]$ ，最后的答案又是距离的平方，所以要开 long long。

代码：

const int N = 1e5, inf = 1e9 + 7;
int n;
ll b[N + 5], sum[N + 5];
struct Poll {
	ll x, y;
} a[N + 5], tmp[N + 5];
ll read() {
	ll ret = 0, sgn = 0;
	char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) sgn |= ch == '-', ch = getchar();
	while (isdigit(ch)) ret = ret * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return sgn? -ret: ret;
}
bool cmp(Poll a, Poll b) {
	return a.x < b.x;
}
void merge(ll l, ll r) {
	ll mid = l + r >> 1, i = l, j = mid + 1;
	for (ll k = l; k <= r; k++)
		if (i <= mid && (j > r || a[i].y < a[j].y)) tmp[k] = a[i++];
		else tmp[k] = a[j++];
	for (ll i = l; i <= r; i++) a[i] = tmp[i];
}
ll sqr(ll x) {
	return x * x;
}
ll dis(Poll a, Poll b) {
	return sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y);
}
ll dfs(ll l, ll r) {
	if (l >= r) return inf;
	if (l + 1 == r) {
		if (a[l].y > a[r].y) swap(a[l], a[r]);
		return dis(a[l], a[r]);
	}
	ll mid = l + r >> 1, xmid = a[mid].x;
	ll d = min(dfs(l, mid), dfs(mid + 1, r));
	merge(l, r);
	ll tot = 0;
	for (ll i = l; i <= r; i++)
		if (sqr(a[i].x - xmid) < d) b[++tot] = i;
	for (ll i = 1; i <= tot; i++)
		for (ll j = i + 1; j <= tot && sqr(a[b[i]].y - a[b[j]].y) < d; j++)
			d = min(d, dis(a[b[i]], a[b[j]]));
	return d;
}
int main() {
	n = read();
	for (ll i = 1; i <= n; i++) sum[i] = read();
	for (ll i = 1; i <= n; i++) sum[i] += sum[i - 1];
	for (ll i = 1; i <= n; i++) a[i].x = i, a[i].y = sum[i];
	cout << dfs(1, n) << endl;
	return 0;
}