ABC298Ex Sum of Min of Length 题解

ABC298Ex

简单题。

因为有 $min$ 不好做，容易想到讨论 $d(i,L)$ 和 $d(i,R)$ 的大小。

令 $p=\text{LCA}(L,R)$，$de{p}_L>de{p}_R,dist=de{p}_L+de{p}_R-2\times de{p}_p$，$now$ 满足 $de{p}_L-de{p}_{now}=\lfloor {\displaystyle \frac{dist}{2}}\rfloor$

则 $L$ 一定在 $now$ 的子树内，且对于 $\mathrm{\forall }i\in \{\text{subtree}(now)\}$ 时均有 $d(i,L)\le d(i,R)$，否则 $d(i,L)>d(i,R)$。其中 $\text{subtree}(x)$ 表示 $x$ 的子树。

容易想到求一个点到其他点的距离和。

令 $va{l}_i$ 表示 $\sum _{j=1}^{n}d(i,j)$。

在 dfs 时处理一下即可，显然可以做到 $\mathcal{O}(n)$。

最后再将 $dist$ 奇偶讨论一下即可。

时间复杂度：$\mathcal{O}(n+m\log n)$，可以使用线性 LCA 做到 $\mathcal{O}(n+m)$

代码：

const int N = 2e5 + 10;
int n, m;
int siz[N], d[N], fa[N][20];
ll dis[N], v[N];
vector<int> e[N];

void dfs1(int u, int f) {
	d[u] = d[f] + 1, siz[u] = 1, fa[u][0] = f;
	for (int i = 1; i <= 18; i++)
		fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
	for (int v : e[u])
		if (v != f) {
			dfs1(v, u);
			siz[u] += siz[v];
			dis[u] += dis[v] + siz[v];
		}
}
void dfs2(int u, int f) {
	if (u == 1)
		v[u] = dis[u];
	else
		v[u] = v[f] + (siz[1] - siz[u]) - siz[u];
	for (int v : e[u])
		if (v != f)
			dfs2(v, u);
}
int lca(int u, int v) {
	if (d[u] < d[v])
		swap(u, v);
	for (int i = 18; i >= 0; i--)
		if (d[fa[u][i]] >= d[v])
			u = fa[u][i];
	if (u == v)
		return u;
	for (int i = 18; i >= 0; i--)
		if (fa[u][i] != fa[v][i])
			u = fa[u][i], v = fa[v][i];
	return fa[u][0];
}
int tonode(int u, int st) {
	for (int i = 18; i >= 0; i--)
		if (st >> i & 1)
			u = fa[u][i];
	return u;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin >> n;
	for (int i = 1, u, v; i < n; i++) {
		cin >> u >> v;
		e[u].pb(v), e[v].pb(u);
	}
	dfs1(1, 0), dfs2(1, 0);
	cin >> m;
	while (m--) {
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		if (d[l] < d[r])
			swap(l, r);
		int p = lca(l, r), dist = d[l] + d[r] - 2 * d[p];
		if (dist % 2 == 0) {
			int now = tonode(l, dist / 2);
			cout << v[l] + v[r] - v[now] - 1ll * n * dist / 2 << "\n";
		} else {
			int now = tonode(l, dist / 2);
			cout << v[l] + v[r] - v[now] - 1ll * n * (dist / 2) - siz[now] << "\n";
		}
	}
	return 0;
}