10月4日 CSP-S 模拟
10月4日 CSP-S 模拟赛总结
2457
题目大意
给定一个长度为 \(n\) 的排列 \(A\)，问交换两数的位置，最多能使逆序对的数量减少多少
思路
50 pts（\(n^2\)）
开两个二维数组， f1[i][j] 表示 \(i\) 与 \(j\) 互换位置时对于 \(i\) 减少的逆序对数量（也可以是增加），f2[i][j] 与 f1[i][j] 同理，不过是对于 \(j\) 来说的。
接下来考虑转移，对于 f1[i][j]，如果 \(a[i]>[j]\)，那么 \(f1[i][j]=f1[i][j-1]+1\)，否则，\(f1[i][j]=f1[i][j-1]-1\)。f2 同理。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+1;
int n,ans;
bool flag;
int a[maxn];
int f1[1001][1001];//i减少的逆序对
int f2[1001][1001];//j减少的逆序对
signed main()
{
//freopen("2457.in","r",stdin);
//freopen("2457.out","w",stdout);
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>a[i];
if(a[i]<a[i-1])flag=1;
}
if(!flag)
{
cout<<0<<endl;
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i+1;j<=n;++j)
{
if(a[i]>a[j])
f1[i][j]=f1[i][j-1]+1;
else
f1[i][j]=f1[i][j-1]-1;
}
for(int i=n;i>=1;--i)
for(int j=i+1;j<=n;++j)
{
if(a[i]>a[j])
f2[i][j]=f2[i+1][j]+1;
else
f2[i][j]=f2[i+1][j]-1;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i+1;j<=n;++j)
ans=max(ans,f1[i][j]+f2[i][j]);
cout<<ans-1<<endl;
return 0;
}
100 pts
不会
2458
题目大意
给定一个长为 \(n\) 的序列 ，可以进行下述操作：选择一个下标 \(i\)，将 \((a_i,a_{i+1},a_{i+2})\) 替换成
\((a_{i+1},a_{i+2},a_i)\)。
构造一个长度不超过 \(n^2\) 的操作序列，使得操作完毕后，序列升序排列。
思路
先考虑原序列是一个排列的情况。
我们先将元素 \(1\) 换到最前面，再将元素 \(2\) 换到第二位……直到 \(n-2\) 也这样完成。于是，现在序列要么形如 \(1,2,...,n-2,n-1,n\)，要么形如 \(1,2,...,n-2,n,n-1\)。前一种已经完成了，那后一种怎么办呢？
其实可以证明，如果此时出现了后一种情况，那么是无解的。考虑对排列定义“排列的符号”：\((-1)^{逆序对的数量}\)。当交换了相邻两个数之后，因为逆序对数要么增加一，要么减少一，所以无论如何“排列的符号”都会变号。（事实上，我们可以拓展这个结论，在一个排列中交换任意两个数，排列的符号都会发生改变）
而题面中的操作就相当于做了两次相邻元素交换，于是在进行一次题面操作后，排列的符号保持不变。所以，如果出现了 \(1,2,...,n-2,n,n-1\) 这种情况，那说明初始排列的符号和目标排列的符号是不同的，于是无解。
那么如果原序列不是一个排列呢？我们不妨将其转化成一个排列。如果有相同的元素，我们不妨随便钦定一个它们之间的大小关系，然后再进行离散化，这样原序列就变成一个排列了（直接随机排列）。可要是这样变化后无解，不代表原序列就无解。但是，我们可以挑出一对相同的元素，反转它们被钦定的大小关系。下面是一个例子。
比如，原序列是 \(2,3,3,3\)，可能变化出来的序列是 \(1,2,4,3\)，这是无解的。但是，我们可以交换两个“大小相邻”的 3 的顺序，变成 \(1,2,3,4\)，这样就是有解的了。
因此，如果原序列没有相同元素，那么离散化后使用对于排列的算法即可。如果有相同元素，那么仍然可以把它转化成排列的情况，并且可以转化成两个符号不同的排列，而其中一个必定有解，也套用上述算法即可。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e3+1;
int n;
bool flag;
int a[maxn];
int b[maxn];
vector<int> ans;
inline void change(int x)
{
ans.push_back(x);
swap(b[x],b[x+1]);
swap(b[x+1],b[x+2]);
}
inline bool solve()
{
ans.clear();
for(int i=1;i<=n;++i)
b[i]=a[i];
for(int i=1;i<=n-2;++i)
{
int maxx=b[1];
vector<int> box;
for(int j=1;j<=n-i+1;++j)
{
if(maxx<b[j])
{
maxx=b[j];
box.clear();
box.push_back(j);
}
else if(maxx==b[j])
box.push_back(j);
}
srand(time(0));
random_shuffle(box.begin(),box.end());
int x=box[0];
while(x<=n-i-1)
{
change(x);
x+=2;
}
if(x==n-i)
{
change(x-1);
change(x-1);
}
}
if(b[1]>b[2])
return false;
return true;
}
signed main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];
if(n<=2)
{
if(n==1)
cout<<0<<endl;
if(n==2)
{
if(a[1]<=a[2])
cout<<0<<endl;
else
cout<<-1<<endl;
}
return 0;
}
for(int i=1;i<=10;++i)
{
flag=solve()?true:false;
if(flag)break;
}
if(!flag)
{
cout<<-1<<endl;
return 0;
}
cout<<ans.size()<<endl;
for(int i=0;i<ans.size();++i)
cout<<ans[i]<<' ';
return 0;
}
2459
鸽
2460
题目大意
给定 \(n\)，\(m\) 保证 \(m\le n\)，计算满足下面条件的排列个数：
长度为
不存在相邻两个数和为 \(m\) 或 \(m+1\)
对 \(10^9+7\) 取模。
