数论学习笔记

数论学习笔记

目录：

1、逻辑、集合与计数

2、归纳与递推

3、算术基本定理

4、同余

5、群论

一、逻辑、集合与计数

1.1充分条件、必要条件与充要条件

若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件

$p$ 是 $q$ 的充分不必要 条件	$p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$
$p$ 是 $q$ 的必要不充分 条件	$p\nRightarrow q$ 且 $q\Rightarrow p$
$p$ 是 $q$ 的充要 条件	$p\iff q$
$p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要 条件	$p\nRightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$

1.1.1全称量词 任意 $\mathrm{\forall }$

1.1.2存在量词 存在 $\mathrm{\exists }$

1.2集合与元素

1.2.1集合间的基本关系

集合与元素的关系: 若 a 属于集合 A,记作 a$\in$A; 若 b 不属于集合 A,记作 b$\notin$A

子集: 集合 A 中所有元素都在集合 B 中,记作 A$\subseteq$B

真子集: 集合 A 是集合 B 的真子集,且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中,记作 A$⫋$B

集合相等: 集合 A,B 中元素相同,记作 A=B

1.2.2集合的基本运算

集合的并集,记作 $A\cup B=\{x\mid x\in A$ 或 $x\in B\}$

集合的交集,记作 $A\cap B=\{x\mid x\in A$ 且 $x\in B\}$

集合的补集,记作$\complement {}_{U}A=\{x\mid x\in U$ 且 $x\notin A\}$

1.3映射(计数)

映射: 如果按照某种确定的对应关系 $f$,是对于集合 A 中的任意 一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 $f(x)$与之对应,记作 $f:A\to B$

满射: f(A)=B

单射: 对于集合 A 中任意不同的两个元素 $x_1\ne x_2$,均有 $f(x_1)\ne f(x_2)$

一一映射: 映射 $f$既是单射又是满射

二、归纳与递推

2.1等差、等比数列基础

2.1.1等差数列求和公式: $S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

2.1.2等比数列求和公式: $S_n=\frac{a_1(1-q_n)}{1-q}$

2.1.3平方和公式: $\sum _{i=1}^n{i}^2$=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

2.1.4立方和公式: $\sum _{i=1}^n{i}^3$=$(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2$

2.2裂项

2.2.1Abel恒等式: $\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=S_n{b}_n+\sum _{i=1}^{n-1}{S}_i(b_{i+1}-b_i)$

2.3数学归纳法

方法:先猜结论,再证明$a_1$成立,最后证明$a_k$成立时$a_{k+1}$也成立即可

2.3.1基本不等式：对于任意正实数$x,y$,均有$(\frac{x+y}{2}{)}^2\ge xy$

2.3.1均值不等式: 对于任意正实数$x_1,x_2,...,x_n$,均有$(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}{)}^2\ge x_1{x}_2...x_n$

2.4递推计数

递推公式向通项公式的转化:

2.4.1 $a_{n+1}=a_n+f(n)$

2.4.2 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)$

2.4.3 $a_{n+1}=P{a}_n+q\to a_{n+1}+k=P(a_n+k)$(待定系数法)

2.4.4 $a_{n+1}=P{a}_n+f(n)\to a_{n+1}+g(n+1)=k(a_n+g(n))$(待定系数法)

2.4.5 $a_{n+1}=\frac{m{a}_n}{P{a}_n+q}\to \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}\times \frac{q}{m}+\frac{p}{m}$(取倒数法)

2.4.6 $a_{n+2}=P{a}_{n+1}+q{a}_n$

$\begin{array}{c}{a}_{n+2}-P{a}_{n+1}-q{a}_n=0\\ x^{n+2}-P{x}^{n+1}-q{x}^n=0\\ x^2-Px-q=0\\ x_1\ne x_2:C_1{x}_1^n+C_2{x}_2^n=a_n\\ x_1\ne x_2:C_1{x}_1^n+C_{2}n{x}_2^n=a_n\end{array}$

三、算数基本定理

3.1整除

定义: 设 $a,b\in Z,a\ne 0$ ,如果$\mathrm{\exists }q\in Z$,使得$b=aq$,那么就说明$b$可以被$a$整除,记作$a\mid b$; $b$不被$a$整除记作$a\nmid b$

可传递性: $a\mid b$ 且 $b\mid c\Rightarrow a\mid c$

可加减性: $n\mid a$ 且 $n\mid b\Rightarrow n\mid a\pm b$

可乘性: $a\mid b$ 且 $c\mid d\Rightarrow ac\mid bd$

3.2最大公因数与最小公倍数

3.2.1最大公因数和最小公倍数

$gcd:max\{m,m\mid a$ 且 $m\mid b\}$,记作 $(a,b)$

$lcm:min\{n,a\mid n$ 且 $b\mid n,n>0\}$,记作$[a,b]$

3.2.2带余除法

$\mathrm{\forall }a,b>0,\mathrm{\exists }1q,r$满足$\{\begin{array}{l}a=bq+r\\ 0\le r\le b-1\end{array}$

3.2.3公倍数能被最小公倍数整除

$a\mid n$ 且$b\mid n\Rightarrow lcm(a,b)\mid n$

3.2.4引理

$(a,b)=(a-b.b)$

若 $a÷b=q...r,$ 则 $(a,b)=(b,r)$

3.2.5裴蜀定理(贝祖定理)

$\mathrm{\forall }a,b>0,\mathrm{\exists }x,y$ 使得$ax+by=(a,b)$

$(a,b)=min(ax+by>0)$

3.2.6推论

公因数整除最大公因数

$\mathrm{\forall }x\in \{a,b$ 的公因数 $\}\mid (a,b)$

整除的互质可消性

$\mathrm{\exists }x,y,$ 使得 $ax+by=1((a,b)=1),$

$c=acx+bcy,$

$a\mid bc,$

$a\mid bcy,$

$a\mid acx,$

$a\mid acx+bcy=c$

3.3算数基本定理

3.3.1质数

存在无穷多个质数

如果$p\nmid a$,则$(p,a)=1$

$p$是质数,则若$p\mid ab\Rightarrow p\mid a$ 或 $p\mid b$

3.3.2算数基本定理

一个大于1的正整数$n$可以分解为若干质数的乘积,若不考虑因子之间的顺序,这种分解方式是唯一的

$n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}...p_k^{e_k}$,称为$n$的标准分解式

3.3.3 $v_p(n):$ 表示 $n$ 的标准分解式中所含质因子 $p$ 的质数

$v_p(n!)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{n}{p_i}]$

$v_p(C_n^m)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}([\frac{n}{p_i}]-[\frac{m}{p_i}]-[\frac{n-m}{p_i}])$

3.3.4推论

设正整数$n$的标准分解式为: $n=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}...p_k^{e_k}$

设$m=p_1^{f_1}{p}_2^{f_2}...p_k^{f_k}$,则$m\mid n\iff f_i\le e_i(1\le i\le k)$

因数个数公式: $(e_1+1)(e_2+2)...(e_k+k)$

因数和公式:$\sigma (n)=\frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_1-1}.\frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}...\frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1}$

3.3.5定理

最大公因数: $(m,n)=p_1^{min\{f_1,e_1\}}{p}_2^{min\{f_2,e_2\}}...p_k^{min\{f_k,e_k\}}$

最小公倍数: $[m,n]=p_1^{max\{f_1,e_1\}}{p}_2^{max\{f_2,e_2\}}...p_k^{max\{f_k,e_k\}}$

3.3.6推论

$(ma,mb)=m(a,b)$

$(a,uv)=(a,(a,u)v)$

$(u,v)=1\Rightarrow (a,uv)=(a,u)(a,v)$

$(a,b)=1,(c,d)=1\Rightarrow (ab,cd)=(a,c)(a,d)(b,c)(b,d)$

$(a,b)=1\Rightarrow (a_k,b_k)=1$

最大公因数与最小公倍数的的乘积等于两数的乘积

设 $(a,b)=ma=mx,b=my(mx,my)=m,$

$(x,y)=m,$

$(x,y)=1,$

$[x,y]=xy,$

$[mx,my]=mxy,$

$ab=m_{2}xy$

四、同余

4.1同余

4.1.1同余

$n\mid a-b\Rightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

4.1.2同余的性质

若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,则 $a$ 与 $b$ 对 $n$ 作带余除法所得的余数相同

自反性: $a\equiv b(\mathrm{mod}n)\Rightarrow b\equiv a(\mathrm{mod}n)$

传递性: $a\equiv b(\mathrm{mod}n),b\equiv c(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a\equiv c(\mathrm{mod}n)$

可加减性: $a_1\equiv a_2(\mathrm{mod}n),b_1\equiv b_2(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a_1\pm b_1\equiv a_2\pm b_2(\mathrm{mod}n)$

可乘性: $a_1\equiv a_2(\mathrm{mod}n),b_1\equiv b_2(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a_1\times b_1\equiv a_2\times b_2(\mathrm{mod}n)$

可除性: $ka\equiv kb(\mathrm{mod}kn)\Rightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

互质可消性: $ka\equiv kb(\mathrm{mod}n),(k,n)=1\Rightarrow a\equiv b(\mathrm{mod}n)$

4.1.3定理: 特数的余数特征

若$m\mid {10}^k$,$n=a{.10}^k+b$(其中 $b$ 为 $n$ 的末 $k$ 位数)，则 $n\equiv b(\mathrm{mod}m)$

若 $m\mid {10}^k-1,n=a_s{.10}^{sk}+a_{s-1}{.10}^{(s-1)k}+...+a_1{.10}^k+a_0$，其中 $a_s,a_{s-1},...,a_0$ 均小于 ${10}^k$，则 $n\equiv a_s+a_{s-1}+...+a_0(\mathrm{mod}m)$

若 $m\mid {10}^k+1,n=a_s{.10}^{sk}+a_{s-1}{.10}^{(s-1)k}+...+a_1{.10}^k+a_0$，其中 $a_s,a_{s-1},...,a_0$ 均小于 ${10}^k$，则 $n\equiv a_0-a_1+a_2-a_3+...+(-1{)}^s.a_s(\mathrm{mod}m)$

4.1.4定理

如果 $n$ 是奇质数，则 $1^2,2^2,...,n^2$ 被 $n$ 除所得的余数恰有 $\frac{n+1}{2}$ 个

4.2几个经典的余数定理

4.2.1定义

剩余类：设模为 $n$，则根据余数可将所有的整数分为 $n$ 类，把所有与整数 $a$ 模 $n$ 同余的整数构成的集合叫做模 $n$ 的一个剩余类，记作 $[a]$，并把 $a$ 叫作剩余类 $[a]$ 的一个代表元

完全剩余系：从模 $n$ 的每个剩余类中各取一个数，得到一个由 $n$ 个数组成的集合，叫做模 $n$ 的一个完全剩余系

欧拉 $\phi$ 函数：定义 $\phi (n)$ 为 $0-n$ 中与 $n$ 互质的数的个数

$m,n$ 互质 $\Rightarrow \phi (mn)=\phi (m)\phi (n)$

$\phi (p^k)=p^k-\frac{p^k}{p}=p^k(1-\frac{1}{p})$

既约剩余系（缩系）：$n$ 的完系中与 $n$ 互质的数所构成的子集

同余逆：已知 $(a,n)=1$，则存在整数 $b$ 使得 $ab\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，且这样的 $b$ 在模 $n$ 意义下是唯一的，则 $b$ 称为 $a\mathrm{mod}n$ 的同余逆，常记作 $a^{-1}(\mathrm{mod}n)$

4.2.2定理

若 $\{a_1,a_2,...,a_n\}$ 为模 $n$ 的完系，则 $\{a_1+k,a_2+k,...,a_n+k\}$ 也为模 $n$ 的完系

若 $\{a_1,a_2,...,a_n\}$ 为模 $n$ 的完系，且 $(m,n)=1$ ,则 $\{m{a}_1,m{a}_2,...,m{a}_n\}$ 也为模 $n$ 的完系

若 $\{a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}\}$ 为模 $n$ 的缩系，且 $(m,n)=1$ ,则 $\{m{a}_1,m{a}_2,...,m{a}_{\phi (n)}\}$ 也为模 $n$ 的缩系

若 $\{a_1,a_2,...,a_{\phi (n)}\}$ 为模 $n$ 的缩系，且则 $\{a_1^{-1},a_2^{-1},...,a_{\phi (n)}^{-1}\}$ 也为模 $n$ 的缩系

4.2.3中国剩余定理（孙子定理）

已知 $n_1,n_2,...,n_k$ 两两互质，同余方程组 $\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\\ ...\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{n}_k)\end{array}$ 在模 $n=n_1{n}_2...n_k$ 的意义下有唯一解

构造：

设 $M=m_1\times m_2\times ...\times m_n=\prod _{i=1}^n{m}_i$ 是整数 $m_1,m_2,...m_n$ 的乘积，并设 $M_i=M/m_i,\mathrm{\forall }i\in \{1,2,...,n\}$ 是除了 $m_i$ 以外的 $n-1$ 个数的乘积

设 $t_i=M_i^{-1}$ 为 $M_i$ 模 $m_i$ 的数论倒数（$t_i$ 为 $M_i$ 模 $m_i$ 意义下的逆元），$M_i{t}_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i),\mathrm{\forall }i\in \{1,2,...,n\}$

方程组 $(S)$ 的通解形式为 $x=a_1{t}_1{M}_1+a_2{t}_2{M}_2+...a_n{t}_n{M}_n+kM=kM+\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i,k\in Z$

在模 $M$ 的意义下，方程组 $(S)$ 只有一个解：$x=(\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i)modM$

证明：

从假设可知，对于任何 $i\in \{1,2,...,n\}$，由于 $\mathrm{\forall }j\in \{1,2,...,n\},j\ne i,gcd(m_i,m_j)=1$,所以 $gcd(m_i,M_i)=1$,这说明存在整数 $t_i$ 是的 $t_i{M}_i\equiv 1(\mathrm{mod}{m}_i)$。这样的 $t_i$ 叫做 $M_i$ 模 $m_i$ 的数论倒数。考察乘积 $a_i{t}_i{M}_i$ 可知：

$a_i{t}_i{M}_i\equiv a_i\times 1\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)$

$\mathrm{\forall }j\in \{1,2,..,n\},j\ne i,a_i,t_i{M}_i\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_j)$

所以 $x=a_1{t}_1{M}_1+a_2{t}_2{M}_2+...+a_n{t}_n{M}_n$ 满足：

$\mathrm{\forall }i\in \{1,2,...,n\},x=a_i{t}_i{M}_i+\sum _{j\ne i}{a}_j{t}_j{M}_j\equiv a_i+\sum _{j\ne i}0\equiv a_i(\mathrm{mod}{m}_i)$

这说明 $x$ 就是方程组 $(S)$ 的一个解

另外，假设 $x_1,x_2$ 都是方程组 $(S)$ 的解，那么：

$\mathrm{\forall }i\in \{1,2,...,n\},x_1-x_2\equiv 0(\mathrm{mod}{m}_i)$

而 $m_1,m_2,...,m_n$ 两两互质，这说明 $M=\prod _{i=1}^n{m}_i$ 整除 $x_1-x_2$。所以方程组 $(S)$ 的任何两个解之间必然相差 $M$ 的整数倍。

而另一方面，$x=a_1{t}_1{M}_1+a_2{t}_2{M}_2+...+a_n{t}_n{M}_n$ 是一个解，

同时所有形式为：$a_1{t}_1{M}_1+a_2{t}_2{M}_2+...+a_n{t}_n{M}_n+kM=kM+\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i,k\in Z$ 的整数也是方程组 $(S)$ 的解。

所以方程组所有的解的集合就是：$\{kM+\sum _{i=1}^n{a}_i{t}_i{M}_i;k\in Z\}$

4.2.4威尔逊定理（Wilson）

如果 $p$ 是一个质数，则 $(p-1)!\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$

4.2.5费马小定理

$p$ 为质数，$a$ 不是 $p$ 的倍数，则 $a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

4.2.6欧拉定理

$a$ 和 $n$ 为正整数，且 $(a,n)=1$,则 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

证：

取模 $n$ 的缩系 $a_1,a_2,...,a_{\phi (n)},$ 则 $a{a}_1,a{a}_2,...,a{a}_{\phi (n)}$ 也是模 $n$ 的缩系，

故有 $\prod _{i=1}^{\phi (n)}{a}_i\equiv \prod _{i=1}^{\phi (n)}a{a}_i\equiv a^{\phi (n)}\prod _{i=1}^{\phi (n)}{a}_i(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$,特别的，当 $n\in \{$ 质数 $\}$ 时，该结论加强为费马小定理

4.2.7推论

若 $a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n),a^k\equiv 1(\mathrm{mod}n)\Rightarrow a^{(m,k)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

若 $(a,n)=1$，则存在最小的正整数 $k$，使得 $a^k\equiv 1(\mathrm{mod}n)$，且 $a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$,此时，$k$ 叫做 $a$ 模 $n$ 的阶

五、群论 鸽

__EOF__

本文作者：Penguin_Chen
本文链接：https://www.cnblogs.com/PenguinChen/p/17630377.html
关于博主：评论和私信会在第一时间回复。或者直接私信我。
版权声明：本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！
声援博主：如果您觉得文章对您有帮助，可以点击文章右下角【推荐】一下。您的鼓励是博主的最大动力！