矩阵计算理论题目之一

本系列主要记录一些矩阵计算理论题目比较好的解题思路，由于查不到答案，所以解题来源于自己的思考和与同学的交流。

题目：假设$P\left ( A+E \right )= LU$，其中P是排列方阵，$L=\left [ l_{ij} \right ]$是满足$\left | l_{ij} \right |\leq 1$的单位下三角矩阵，$U=\left [ u_{ij} \right ]$是上三角矩阵。证明：

$\kappa _{\infty }\left ( A \right )\geq \frac{\left \| A \right \|_{\infty }}{\left \| E \right \|_{\infty }+\min_{i}\left | u_{ii} \right |}$

证明：该题目可分两步进行证明。

①如果$\min_{i}\left | u_{ii} \right |=0$，则必然有$\left \| A^{-1}E \right \|_{\infty }\geqslant 1$，否则$\rho \left ( A^{-1}E \right )< 1$，$I+A^{-1}E$可逆，从而$A+E=A\left ( I+A^{-1}E \right )$可逆。但是$U$不可逆，得到$P\left ( A+E \right )=LU$不可逆，这就得到了矛盾。而$\left \| A^{-1} \right \|_{\infty }\left \| E \right \|_{\infty }\geqslant \left \| A^{-1}E \right \|\geqslant 1$，那么就有

$\kappa _{\infty }\left ( A \right )=\left \| A \right \|_{\infty }\left \| A^{-1} \right \|_{\infty }\geqslant \frac{\left \| A \right \|_{\infty }}{\left \| E \right \|_{\infty }}$

②一般地，记$E_{i}=e_{i}e_{i}^{T}$，$\bar{U}=U-u_{ii}E_{i}$为上三角矩阵，且满足$\min_{j}\left |\left ( \bar{U}_{i} \right )_{jj} \right |=0$。那么有等式

$P\left ( A+E \right )=L\left ( \bar{U}_{i}+u_{ii}E_{i} \right )$，$PA+\left ( PE-u_{ii}LE_{i} \right )=L\bar{U}_{i}$，即

$P\left ( A+\left ( E-P^{-1}u_{ii}LE_{i} \right ) \right )=L\bar{U}_{i}$

再根据①中的情况得$\kappa _{\infty }\left ( A \right )=\left \| A \right \|_{\infty }\left \| A^{-1} \right \|_{\infty }\geqslant \frac{\left \| A \right \|_{\infty }}{\left \| E-P^{-1}u_{ii}LE_{i} \right \|_{\infty }}$

因为P为排列方阵，假设其对应的变换为$i\overset{P}{\rightarrow}\tau \left ( i \right ) $

设$E=\begin{bmatrix}e_{11} &e_{12} &\cdots &e_{1n} \\ e_{21} &e_{22} &\cdots &e_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ e_{n1} &e_{n2} &\cdots &e_{nn} \end{bmatrix}$

则$E-P^{-1}u_{ii}LE^{i}=\begin{bmatrix}e_{11} &e_{12} &\cdots &e_{1n} \\ e_{21} &e_{22} &\cdots &e_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ e_{n1} &e_{n2} &\cdots &e_{nn} \end{bmatrix}-P^{-1}u_{ii}\begin{bmatrix}1 &0  &\cdots   &0 \\ l_{21} &1 &\cdots   &0 \\ \vdots  &\vdots   &\ddots   &\vdots  \\ l_{n1} &l_{n2}  &\cdots   &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 &\cdots   &0  &\cdots &0 \\ \vdots  &\ddots   &\vdots &\ddots &\vdots   \\  0&\cdots   &1_{\left ( i,i \right )}  &\cdots   &0 \\ \vdots &\ddots   &\vdots   &\ddots   &\vdots  \\  0&\cdots   &0  &\cdots   &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e_{11} &e_{12} &\cdots &e_{1n} \\ e_{21} &e_{22} &\cdots &e_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ e_{n1} &e_{n2} &\cdots &e_{nn} \end{bmatrix}-P^{-1}u_{ii}\begin{bmatrix}0 &\cdots   &0  &\cdots &0 \\ \vdots  &\ddots   &\vdots &\ddots &\vdots   \\  0&\cdots   &l_{ii}  &\cdots   &0 \\ \vdots &\ddots   &\vdots   &\ddots   &\vdots  \\  0&\cdots   &l_{ni}  &\cdots   &0 \end{bmatrix}$

计算后可得，$E-P^{-1}u_{ii}LE_{i}$的第k行绝对值之和为

$\left\{\begin{matrix}\sum_{j=1}^{n}\left | e_{kj} \right |\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; k=\tau \left ( 1 \right ),\tau \left ( 2 \right ),\cdots ,\tau \left ( i-1 \right )\\ \sum_{j\neq i}\left | e_{kj} \right |+\left | e_{ki}-u_{ii}l_{ki} \right |\; \; \; \; \; k=\tau \left ( i \right ),\tau \left ( i+1 \right ),\cdots ,\tau \left ( n \right )\end{matrix}\right.$

从而有$\left \| E-P^{-1}u_{ii}LE_{i} \right \|_{\infty }\leqslant \left | u_{ii} \right |+\left \| E \right \|_{\infty }$。因此

$\kappa _{\infty }\left ( A \right )\geq \frac{\left \| A \right \|_{\infty }}{\left \| E \right \|_{\infty }+\left | u_{ii} \right |}\; \; \; \; \; \; \forall i=1,2,\cdots ,n$

或者

$\kappa _{\infty }\left ( A \right )\geq \frac{\left \| A \right \|_{\infty }}{\left \| E \right \|_{\infty }+\min_{i}\left | u_{ii} \right |}$