数论之勾股数组（毕达哥拉斯三元组）

本原勾股数组（PPT)是一个三元组（a，b，c),其中a，b，c无公因数，且满足a² +b² =c²。

很明显存在无穷多个勾股数组（abc同乘以n），下面研究abc没有公因数的情况，先写出一些本原勾股数组：

case:(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (20,21,29)(9,40,41)(12,35,37)(11,60,61)(28,45,53) (33,56,65) (16,63,65)

观察可以看出a，b奇偶性不同且c总是奇数。（用一点技巧可以证明这是正确的）

另外：

3² = 5² - 4² = (5-4)(5+4) = 1 × 9

15² = 17²-8² = (17-8)(17+8) = 9 ×25

35² = 37² - 12² = (37-12)(37+12) = 25 ×49

......

很神奇的是似乎c-b与c+b总是平方数，并且c-b与c+b木有公因数。证明一下下：假设有公因数，设d是c-b与c+b的公因数，则d也整除(c+b)+(c-b)=2c, (c+b)-(c-b) = 2b,所以d整除2c，2b，但是b，c木有公因数，又假设了（a，b，c)是本原勾股数组，从而d等于1或2，又因为d整除（c-b)(c+b)=a².a²是奇数，所以d = 1，c-b与c+b木有公因数。，又因为（c-b)(c+b)=a²,所以c-b与c+b的积是平方数，只有二者都是平方数才会出现（可以把二者分解成素数乘积直观地看出），令c+b = s²，c-b=t²，解得

c=（s²+t²)/2, b=(s²-t²)/2,a = √(c-b)(c+b) = st.这就得出了勾股数组定理：

每个本原勾股数组（a，b，c）(a为奇数，b偶数）都可由如下公式得出：a=st，b=（s²-t²）/2, c = (s²+t²)/2, 其中s>t>=1是没有公因数的奇数。

当取t=1时就可以得到上面的许多例子。