欧几里得及扩展欧几里得算法

　　欧几里得算法 这个就是常说的辗转相除法，用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数，即$$gcd(a,b)=gcd(b,a\;mod\;b)$$

int gcd(int a,int b){
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}

　　扩展欧几里德算法 是用来在已知 $a,b$ 求一组整数解 $x,y$ 使它们满足等式$$ax+by=gcd(a, b)$$

　　推导如下：

　　设 $a>b$

 　　显然当 $b=0$ , $gcd(a,b)=a$ 时，$x=1$ , $y=0$ ；

　　当 $a>b>0$ 时，设$$ax_1+by_1= gcd(a,b)$$$$bx_2+(a\;mod\;b)y_2=gcd(b,a\;mod\;b)$$

　　根据朴素的欧几里得算法，可得$$ax_1+by_1=bx_2+(a\;mod\;b)y_2$$$$ax_1+by_1=bx_2+(a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y_2$$$$ax_1+by_1=ay_2+b(x_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2)$$

　　根据恒等定理得$$x_1=y_2$$$$y_1=x_2- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor y_2$$

　　这样我们就得到了求解 $x_1,y_1$ 的方法：$x_1,y_1$ 的值基于 $x_2,y_2$

　　上面的思想是以递归定义的，因为 $gcd$ 不断的递归求解一定会有个时候 $b=0$ ，所以递归可以结束

int exgcd(int a,int b,int &x1,int &y1){
    if(!b){
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    ans=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    int t=x1;
    x1=y1;
    y1=t-a/b*y1;
    return ans;
}

　　下面是一些重要的结论

　　结论一 设 $a,b,c$ 为任意整数，若方程 $ax+by=c$ 的一组整数解为 $(x_0,y_0)$ ，则他们的任意整数解都可以写成 $(x_0+kb',y_0-ka')$ ，其中 $a'=\frac{a}{gcd(a,b)}$ , $b'=\frac{b}{gcd(a,b)}$ , $k \in Z$

　　结论二 设 $a,b,c$ 为任意整数，$g=gcd(a,b)$ ，方程 $ax+by=g$ 的一组整数解为 $(x_0,y_0)$ ，则当 $c$ 是 $g$ 的倍数时，$ax+by=c$ 的一组整数解是 $(x_0 \frac{c}{g},y_0 \frac{c}{g})$ ；当 $c$ 不是 $g$ 的倍数时，无整数解

 

　　然后洛谷上有道关于扩展欧几里得很经典的题 青蛙的约会 下面是AC代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

ll x,y,m,n,l;
ll ans,x1,y1;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x1,ll &y1){
    if(!b){
        x1=1;
        y1=0;
        return a;
    }
    ans=exgcd(b,a%b,x1,y1);
    ll t=x1;
    x1=y1;
    y1=t-a/b*y1;
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
    ll a=n-m,c=x-y;
    if(a<0){
        a=-a;
        c=-c;
    }
    exgcd(a,l,x1,y1);
    if(c%ans) printf("Impossible");
    else printf("%lld",((x1*(c/ans))%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
    //处理负数的神奇方法 
    
    return 0;
}