luogu P1314 聪明的质监员

[NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石，从 \(1\) 到 \(n\) 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是：

1. 给定$ m$ 个区间 \([l_i,r_i]\)；
2. 选出一个参数 \(W\)；
3. 对于一个区间 \([l_i,r_i]\)，计算矿石在这个区间上的检验值 \(y_i\)：

\[y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j \]

其中 \(j\) 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 \(y\) 为各个区间的检验值之和。即：\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)

若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(s\) 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 \(W\) 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 \(s\)，即使得 \(|s-y|\) 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 \(n,m,s\)，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 \(n\) 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+1\) 行表示 \(i\) 号矿石的重量 \(w_i\) 和价值 \(v_i\)。

接下来的 \(m\) 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 \(i+n+1\) 行表示区间 \([l_i,r_i]\) 的两个端点 \(l_i\) 和 \(r_i\)。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

样例

5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

10

提示

【输入输出样例说明】

当 \(W\) 选 \(4\) 的时候，三个区间上检验值分别为 \(20,5 ,0\) ，这批矿产的检验结果为 \(25\)，此时与标准值 \(S\) 相差最小为 \(10\)。

【数据范围】

对于 \(100\%\) 的数据，有 $ 1 ≤n ,m≤200,000$，\(0 < w_i,v_i≤10^6\)，\(0 < s≤10^{12}\)，\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\) 。

关于此公式的解释

\[y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j \]

yi = (范围i ~ j中满足w >= W的个数） * （范围i ~ j中满足w >= W这个条件的矿石价值之和）

分析

• “选出一个参数W” 并且 随着W增大，（ s - y ）一直变大
  二分

• 需要求m个给定范围的 符合条件的个数 和 符合条件的价值之和
  前缀和

• \(|s - y|\) 存在绝对值，所以二分之后要比较边界左边和右边哪个更小 --> 和cf round 971 E 类似

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>

const int N = 2e5 + 10;
long long n, m, goal;  //记得定义成long long类型
int a[N], s[N], w[N], v[N], l[N], r[N];  //a是存储直至当前下标满足条件的个数的前缀和，s是存储直至当前下标满足条件的价值的前缀和
using namespace std;

long long check(int mid);
int main()
{
    cin >> n >> m >> goal;
    for(long long i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i] >> v[i];
    for(long long i = 0; i < m; i++) cin >> l[i] >> r[i];
    long long l = 0, r = 1e6 + 1;   //r的右边界是wi的最大值，不要忘记了写成n
    while(l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if(check(mid) >= goal) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << min(abs(check(r) - goal), abs(check(r + 1) - goal));
}
long long check(int mid)
{
    long long y = 0;
    for(long long i = 1; i <= n; i++)
    {
        if(w[i] >= mid) a[i] = a[i - 1] + 1, s[i] = s[i- 1] + v[i];
        else a[i] = a[i - 1], s[i] = s[i - 1];
    }
    for(long long i = 0; i < m; i++)
    {
        y += ((a[r[i]] - a[l[i] - 1]) * (s[r[i]] - s[l[i] - 1]));
    }
    return y;   //后面需要计算r + 1时候的y值，所以直接返回y更方便
}