写点题

写一点比较trivial的题，毕竟比较菜，写的东西可能比较菜吧。

Q1

设 \(f :\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]\) 是连续函数，且对任何 \(x\in \left[0,1\right]\) 有 \(f\left(f\left(x\right)\right)=x\) .证明：如果 \(f\left(0\right)=0,f\left(1\right)=1\) ，则 \(f\left(x\right)\equiv x,\forall x\in\left[0,1\right]\) .

A1

反证法，不妨假设存在 \(x_0\) 使得 \(f\left(x_0\right)>x_0\) ，则由于 \(f\left(x\right)\in C\left[0,x_0\right],f\left(0\right)=0,f\left(x_0\right)>x_0\) ，由介值定理得到 \(\exist x_1\in\left(0,x_0\right)\) ，使得 \(f\left(x_1\right)=x_0\) 。于是 \(x_1=f\left(f\left(x_1\right)\right)=f\left(x_0\right)>x_0\) ，与 \(x_1\in\left(0,x_0\right)\) 矛盾。因此假设不成立。另一边类似。

Q2

假设 \(f\) 在 \(\left(0,+\infty\right)\) 上二次可导， \(f''\left(x\right)\) 在 \(\left(0,+\infty\right)\) 有界并且 \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0\) ，证明 \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'\left(x\right)=0\) .

A2

可以设 \(\left|f''\left(x\right)\right|\le M\) ，假设 \(\exist\epsilon_0>0,\forall X>0,\exist x_0>X,s.t.\left|f'\left(x_0\right)>\epsilon_0\right|\) ，于是 \(\left|f'\left(x_0+\dfrac{\epsilon_0}{2M}\right)\right|>\dfrac{\epsilon_0}{2}\) ，于是 \(\left|f\left(x_0+\dfrac{\epsilon_0}{2M}\right)-f\left(x_0\right)\right|>\dfrac{\epsilon_0^2}{4M}\) ，所以 \(\max\left(\left|f\left(x_0+\dfrac{\epsilon_0}{2M}\right),f\left(x_0\right)\right|\right)>\dfrac{\epsilon_0^2}{8M}\) ，根据柯西审敛法则 \(f\left(x\right)\) 不收敛。故假设不成立。

Q3

设 \(f:\left[0,1\right]\rightarrow\mathbb{R}\) 是连续函数，满足 \(f\left(0\right)=f\left(1\right)\) ，设 \(\alpha\in\left(0,1\right)\) 是给定的实数。证明：存在 \(x\in\left[0,1\right]\) 使得 \(f\left(x\right)=f\left(x+\alpha\right)\) 或 \(f\left(x\right)=f\left(x+1-\alpha\right)\) .

A3

A3-1

参见亓爷爷的blog：blog

A3-2

我们考虑到博客里已经证明了有理数的情况，对无理数的情况给出一个更简单的证法。
对于一个无理数 \(\alpha\) ，考虑一个数列 \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=\alpha,y_n\in\mathbb{Q}\) ，\(\exist{x_n}\) 使得 \(f\left(x_n\right)=f\left(x_n+y_n\right)\) 。由于 \(\{x_n\}\) 是有界的，所以根据 \(\text{BW}定理\) 一定存在一个子列 \(\{x_{n_k}\}\) 收敛，设收敛于 \(\zeta\) 。那么 \(f\left(\zeta+\alpha\right)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f\left(x_{n_k}+y_{n_k}\right)=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f\left(x_{n_k}\right)=f\left(\zeta\right)\) ，于是得证。当然，我们并没有证明有无穷多个 \(y\) 存在对应的 \(x\)，但如果只有有限个，那只需要考虑 \(1-\alpha\) 就好了。

A3-3

考虑 \(g\left(x\right)=f\left(x\,\text{mod}\,\alpha\right)\) ，那么由于 \(\int_{0}^{1}f\left(x\right)\,dx=\int_{0}^{1}g\left(x\right)\,dx\) ，所以可以得到 \(\exist\zeta,s.t.\,f\left(\zeta\right)=g\left(\zeta\right)\) ，那么由于 \(\text{mod}\) 这个操作的改变量就是 \(\alpha\) 或者 \(1-\alpha\) ，所以成立。