关于最小路径覆盖

首先最小路径覆盖问题的前提是 \(DAG\) ，并且有两种，一种是最小相交路径覆盖问题（一个点可以在多条路径中）又名最小边覆盖，另一种是最小不相交路径覆盖问题（一个点只能被覆盖在一条路径中）又名最小点覆盖。

最小不相交路径覆盖问题

这个东西的解的数量我不知道有没有什么数学上的解法，目前我只能用算法搞。首先用 \(n\) 条路径独立覆盖每一个点，然后为了让路径最少我们要想办法去合并，像这种合并会有贡献，但是又具有后效性，求最大贡献的题，自然想到网络流，简单的可以考虑二分图，这里我们考虑二分图。

将每个点拆成 \(X_i,Y_i\)，然后如果两个点 \(u,v\) 之间有边，我们在二分图中给 \(X_u,Y_v\) 连边，然后跑最大匹配，最后方案根据匹配对象就可以确定是哪两个点合并了。

最小相交路径覆盖问题

解法是先用 \(floyd\) 传递闭包，然后继续跑最小不相交路径问题即可。

但值得一提的是，最小路径覆盖的解的数量在数学上，有 \(Dilworth\) 定理 ：最小相交路径覆盖=最小边覆盖=最长反链长度

事实上 \(Dilworth\) 定理本身是偏序的定理，下面的证明源于《组合数学》

定义：

偏序集 \((X,\le)\) ：两个数如果可比，那么关系满足自反性，传递性，反对称性

链：任意两个元素可比的子集

反链：任意两个元素不可比的子集

划分：将集合中的每个数都分到子集中，任意两个子集不存在公共元素。

最大元： \(x\) 是偏序集 \((X,\le)\) 中的最大元，当且仅当不存在 \(x'\in X,x\le x'\)

最小元： \(x\) 是偏序集 \((X,\le)\) 中的最小元，当且仅当不存在 \(x'\in X,x'\le x\)

\(Dilworth\) 定理：在偏序集 \((X,\le)\) 中若最长反链长度是 \(m\) ，那么偏序集最少且可以划分为 \(m\) 条链。

首先证明“最少”：由定义可得一条反链与一条链的交不超过 \(1\) ，由于鸽巢原理至少需要 \(m\) 条边。

再证明“可以”：首先，所有最大元构成一条反链，所有最小元也构成反链。对偏序集的大小进行归纳，设这个偏序集的最长反链的长度是 \(m\) ，分两种情况讨论：

如果存在一条反链不是最大元构成的反链也不是最小元构成的反链，那么设这条反链是 \(A\) ，考虑两个偏序集：

\(A^+=\{x:x\in X且对A中某个a,a\le x\}\)

\(A^-=\{x:x\in X且对A中某个a,x\le a\}\)

显然 \(A\) 是 \(A^+\) 中的最大元构成反链，同时也是 \(A^-\) 中的最小元构成的反链，那么根据归纳假设，这两个偏序集中都存在 \(m\) 条链的划分方案，而且 \(A\) 中每个元素都在不同的链中，于是我们把这两个集合中同一个 \(a\in A\) 所在的两条链拼起来，于是我们就形成了 \(m\) 条链的划分。

如果反链一定是最大元构成的反链或者最小元构成的反链，那么我们我们取出任何一个最大元 \(x\) ，一个最小元 \(y\) ，满足 \(x\le y\) ，则 \(X-\{x,y\}\) 的最长反链最长是 \(m-1\) ，然后 \(\{x,y\}\) 也是一条链，于是我们又构造了方案。

事实上这个定理有“对偶”的定理，若一个偏序集最长链的长度是 \(m\) ，那么最少划分为 \(m\) 条反链。

“最少”和上面一样，至于可行，我们每次去掉一层最小元，然后最长链是 \(m\) ，所以最多分为 \(m\) 层，每一层都是都是一个反链。

关于图中，因为可以相交，所以证明是类似的。