关于不带修区间逆序对的一些做法

离线做法：莫队+树状数组

每次加减考虑贡献即可，时间复杂度： \(\Theta(n\sqrt{n}\log n)\)

在线做法

有三种

第一种

拿个树状数组和主席树乱搞搞，跑的慢而且难写（好像这些东西没有好写的），而且时间复杂度并不优秀，是同样的 \(\Theta(n\sqrt{n}\log n)\)

第二种

虽然时间复杂度依然是 \(\Theta(n\sqrt{n}\log n)\) ，但常数比第一种小而且稍微好写一点。考虑对一个位置提前处理出到每个块的左边界的逆序对的数量，做法是对每个块左边界建树状数组，然后进来一个数，更新所有在范围内的左边界的树状数组，对右边界同理。然后这么一个事实：令 \(a\) 表示 \(l\) 所在的块，\(b\) 表示 \(r\) 所在的块，那么 \(cnt_{left(a),r}+cnt_{l,right(b)}-cnt_{left(a),right(b)}=cnt_{l,r}-cnt_{c,d},c\in[left(a),l-1],d\in[r+1,right(b)]\) ，画个图算算就好了，等式前面我们已经预处理了所有的答案，等式右面的后者，因为都是散块，所以直接暴力树状数组即可。

第三种

时间复杂度是优秀的 \(\Theta(n\sqrt{n})\) ，但不怎么好写。。。

其实并不妙，发现答案可以分解为，散块内部答案，整块内部的答案，散块与散块间的答案，整块与整块间的答案，散块与整块间的答案。

散块内部答案可以提前预处理每个位置到所在块左端的答案，这个东西可以考虑对于每个位置，查一下这个块到现在的树状数组即可，询问的时候问一下就好了。

整块内部答案，和散块内部答案一个样，树状数组即可。

散块与散块间答案，可以提前处理出第 \(i\) 个块中，前 \(j\) 个数，排序后的样子，因为都是 \(\Theta(\sqrt{n})\) 级别的，加上要存这个排列，那么空间复杂度就是 \(\Theta(n\sqrt{n})\) ，至于怎么求出来，我们考虑冒泡排序，因为每个位置最多向前跑 \(\Theta(\sqrt{n})\) ，所以复杂度有保证。查的时候归并即可。

整块与整块间的答案，和散块间答案一个样，排序后归并即可。

散块与整块间答案，考虑一个位置与一个块的答案，我们可以不按顺序来搞，对这个位置所在块进行排序，然后对那个块进行排序，然后一边归并一边更新位置的答案，然后因为散块一定是一个区间，所以你搞个前缀和即可。