Comet OJ - Contest #7 C 临时翻出来的题（容斥+状压）

题意

https://www.cometoj.com/contest/52/problem/C?problem_id=2416

思路

这里提供一种容斥的写法（？好像网上没看到这种写法）

题目要求编号为 \(i\) 的节点不能放在 \(p_i\) 位置，那我们不妨假设没有这些条件，然后再用二进制容斥的方法减去不满足条件的情况（即固定某些 \(i\) 在 \(p_i\) 上，这样会好考虑问题一点）。

然后我们面临的问题就是，计算 \(A\)（二进制）这些数不能选，\(B\)（二进制）这些位置不能填的方案数。我们枚举两个数，计算它们的对答案的贡献。设小的数为 \(i\) ，大的数为 \(j\) ，下面分四种情况讨论：

• \(i,j\) 的位置均已确定

  若 \(p_i>p_j\) ，则造成 \((j-i)(p_i-p_j)(n-cnt_A)!\) 的贡献（ \(cnt_A\) 为 \(A\) 的二进制中 \(1\) 的个数）。

• \(j\) 的位置已经确定

  \(i\) 能选的位置为 \(\setminus A\)（ \(A\) 对全集取补），尝试让 \(\setminus A\) 与 \(j\) 匹配，只有 \(\setminus A\) 中大于 \(j\) 的数才能得配，匹配结果是这个数减 \(j\) 。设 \(\setminus A\) 所有数的总匹配结果为 \(t\) ，它对答案的贡献即为 \((j-i)t(n-cnt_A-1)!\)

• \(i\) 的位置已经确定

  与上一种其实没什么区别，只是 \(i\) 去匹配 \(\setminus A\) 罢了。

• \(i,j\) 的位置均未确定

这次是一个集合匹配一个集合，在外面通过情况二来预处理。假设总匹配结果为 \(t\) ，对答案的贡献即为 \((j-i)t(n-cnt_A-2)\)

要注意固定数时如果有两个数共用了一个位置（即 \(p\) 相等），那这个贡献就直接为 \(0\) 了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
#define lowbit(x) ((x)&-(x))
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
int cnt[(1<<16)+5],bin[(1<<16)+5],sum[(1<<16)+5];
int Sum[(1<<16)+5];
ll fac[18];
int n,p[18];

ll f1(int S,int pos)
{
	S=(S|((1<<(pos+1))-1))^((1<<(pos+1))-1);
	return sum[S]-cnt[S]*pos;
}

ll f2(int pos,int S)
{
	S=S&((1<<pos)-1);
	return cnt[S]*pos-sum[S];
}

ll solve(int A,int B)
{
	ll ans=0;
	FOR(i,0,n-1)FOR(j,i+1,n-1)
	{
		if((A>>i&1)&&(A>>j&1))
		{
			if(p[i]>p[j])
				ans+=(j-i)*(p[i]-p[j])*fac[n-cnt[A]];
		}
		else if(!(A>>i&1)&&(A>>j&1))
		{
			ans+=(j-i)*f1(((1<<n)-1)^B,p[j])*fac[n-cnt[A]-1];
		}
		else if((A>>i&1)&&!(A>>j&1))
		{
			ans+=(j-i)*f2(p[i],((1<<n)-1)^B)*fac[n-cnt[A]-1];
		}
		else ans+=(j-i)*Sum[((1<<n)-1)^B]*fac[n-cnt[A]-2];
	}
	return ans;
}
 
int main()
{
	fac[0]=1;FOR(i,1,16)fac[i]=fac[i-1]*i;
	FOR(i,1,1<<16)cnt[i]=cnt[i^lowbit(i)]+1;
	FOR(i,2,1<<16)bin[i]=bin[i>>1]+1;
	FOR(i,1,1<<16)sum[i]=sum[i^lowbit(i)]+bin[lowbit(i)];
	FOR(i,1,1<<16)Sum[i]=Sum[i^lowbit(i)]+f1(i^lowbit(i),bin[lowbit(i)]);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		FOR(i,0,n-1)scanf("%d",&p[i]),p[i]--;
		ll ans=0;
		FOR(i,0,(1<<n)-1)
		{
			int S=0;
			bool flg=1;
			FOR(j,0,n-1)if(i>>j&1)
			{
				if(S&(1<<p[j]))
				{
					flg=0;
					break;
				}
				S|=1<<p[j];
			}
			if(!flg)continue;
			if(cnt[i]&1)ans-=solve(i,S);
			else ans+=solve(i,S);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}