BZOJ 2759 一个动态树好题（动态树）

题意

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2759

思路

每个节点仅有一条有向出边， 这便是一棵基环内向树，我们可以把它在 \(\text{LCT}\) 内部当作有根树维护，外部再保存根的出边。

我们用一个结构体 \((K,B)​\) 表示 \(y=Kx+B​\) ，它的加法运算意义是将前者的 \(y​\) 代入后者的 \(x​\) 。一条路径 \((u,v)​\) （ \(u​\) 指向 \(v​\) ）的 \(sum​\) 就是在 \(v​\) 的出边位置带入 \(x​\) ，经过 \(sum​\) 运算得到的 \(u​\) 点的 \(y​\) 值。

对于一个点 \(x\) ，可以先得到它的根 \(y\) 和它指向的点 \(z\) ，得出 \((z,y)\) 的 \(sum\) 函数为 \(f(x)=Kx+B\) ，设 \(z\) 节点的点权为 \(pw_z\)，则有如下关系：

\[\begin{align}\ f(pw_z)&=pw_z\notag\\ Kpw_z+B&=pw_z\notag\\ (1-K)pw_z&=B\notag\\ pw_z&={B\over 1-K}\notag \end{align} \]

不难得出，当 \(K=1\) 时，若 \(B=0\) ，则方程有多解，若 \(B\neq0\) ，则方程无解，否则就解出了 \(z\) 的值。

接下来只需询问路径 \((x,y)​\) 的函数，然后求出 \(x​\) 的权值即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=3e4+5;
const int P=1e4+7;
int inv[P];
int ch[N][2],fa[N];
struct node
{
	int K,B;
	node(int _K=1,int _B=0){K=_K,B=_B;}
	node operator +(const node &_)const
	{
		return node(K*_.K%P,(_.K*B+_.B)%P);
	}
};
node nd[N],sum[N];
int Ifa[N];
int n,q;

void create(int x,node val)
{
	ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=0;
	nd[x]=sum[x]=val;
}
bool isroot(int x){return x!=ch[fa[x]][0]&&x!=ch[fa[x]][1];}
void push_up(int x)
{
	sum[x]=sum[ch[x][0]]+nd[x]+sum[ch[x][1]];
}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
	if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
	ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
	ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
	push_up(y),push_up(x);
}
void splay(int x)
{
	while(!isroot(x))
	{
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),ch[x][1]=y,push_up(x);
}
int get_fa(int x)
{
	access(x),splay(x);
	if(!ch[x][0])return -1;
	x=ch[x][0];
	while(ch[x][1])x=ch[x][1];
	splay(x);
	return x;
}
int get_root(int x)
{
	access(x),splay(x);
	while(ch[x][0])x=ch[x][0];
	splay(x);
	return x;
}
bool link(int x,int y)
{
	splay(x);
	if(get_root(y)==x)return false;
	fa[x]=y;
	return true;
}
bool cut(int x)
{
	access(x),splay(x);
	if(!ch[x][0])return false;
	fa[ch[x][0]]=0,ch[x][0]=0;
	push_up(x);
	return true;
}
void update(int x,node val)
{
	nd[x]=sum[x]=val;
	push_up(x);
	splay(x);
}
node query(int x)
{
	access(x),splay(x);
	return sum[x];
}

void Link(int x,int y)
{
	if(!link(x,y))Ifa[x]=y;
}
void Cut(int x)
{
	int y=get_root(x);
	if(!cut(x)){Ifa[x]=0;return;}
	if(link(y,Ifa[y]))Ifa[y]=0;
}
int Solve(int x)
{
	int y=get_root(x),z=Ifa[y];
	node f=query(z);
	if(f.K==1)return f.B==0?-2:-1;
	int val=f.B*inv[(P+1-f.K)%P]%P;
	f=query(x);
	return (f.K*val+f.B)%P;
}

int main()
{
	inv[0]=inv[1]=1;
	FOR(i,2,P-1)inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i]%P;
	scanf("%d",&n);
	FOR(i,0,n)create(i,node(1,0));
	FOR(i,1,n)
	{
		int k,p,b;
		scanf("%d%d%d",&k,&p,&b);
		update(i,node(k,b));
		Link(i,p);
	}
	scanf("%d",&q);
	while(q--)
	{
		char op[5];int a,k,p,b;
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='A')
		{
			scanf("%d",&a);
			printf("%d\n",Solve(a));
		}
		else if(op[0]=='C')
		{
			scanf("%d%d%d%d",&a,&k,&p,&b);
			update(a,node(k,b));
			Cut(a);
			Link(a,p);
		}
	}
	return 0;
}