HDU 5405 Sometimes Naive（动态树）

题意

\(n\) 个节点的树，每个点有点权，\(m\) 次操作，操作分两种，修改一个节点的点权，对于一个 \((u,v)\) ，询问 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(i,j)\) 的值，其中如果路径 \((i,j)\) 与路径 \((u,v)\) 有公共点，\(f(i,j)=w_iw_j\)（ \(w_i\) 表示节点 \(i\) 的点权），否则 \(f(i,j)=0\) 。

\(1\leq n,m \leq 10^5​\)

思路

先讲一下用 \(\text{LCT}​\) 维护子树信息的写法（以子树和为例）。

我们需要一个两个数组维护和，\(sum，isum\) 前者表示子树和，后者表示虚儿子的和。

\(\text{push_up}\) 函数需要这么写

void push_up(int x){sum[x]=sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+isum[x]+pw[x];}

在连断虚实边时，要注意 \(isum\) 的变化。

void access(int x)
{
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
		splay(x),isum[x]+=-sum[y]+sum[ch[x][1]],ch[x][1]=y,push_up(x);
	//其实这里可以不用push_up(x)，因为sum值没有变化
}

\(\text{link}\) 函数这样写，因为需要维护子树和，所以两个点直接转到根。

void link(int x,int y)
{
	make_root(x),make_root(y);
	fa[x]=y;
	isum[y]+=sum[x];
	push_up(y);
}

\(\text{cut}​\) 函数同理

void cut(int x,int y)
{
	make_root(x),access(y),splay(x);
	ch[x][1]=fa[y]=0;
	push_up(x);
}

正难则反，我们用总的路径 \((i,j)\) 的答案减去没有公共点的路径 \((i,j)\) 的答案。

总的路径非常好求，就是 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=1}^nw_iw_j= (\sum_{i=1}^n w_i)^2​\) 。

为了求没有交点的路径，我们不妨利用 \(\text{LCT}\) 将这条路径的一个端点拎到根，那对与询问 \((u,v)\) ，答案就是这个式子：

\[(\sum_{i=1}^n w_i)^2-\sum_{p\in \text{Path}(u,v)} \sum_{q\in \text{son}(p)\text{且}q\not\in{\text{Path}(u,v)}}sum_q^2 \]

其中 \(sum_i\) 表示子树和，我们需要用上面的方法去维护它。不难发现，实化路径 \((u,v)\) 后，上面的 \(q\) 其实就是虚儿子的 \(sum\) 平方再求和，那用类似的方法进行维护。然后再对这个东西再求一次路径和即可。最终用总的去减就是最终答案了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i<=i##END;++i)
#define DOR(i,x,y) for(int i=(x),i##END=(y);i>=i##END;--i)
template<typename T,typename _T>inline bool chk_min(T &x,const _T y){return y<x?x=y,1:0;}
template<typename T,typename _T>inline bool chk_max(T &x,const _T y){return x<y?x=y,1:0;}
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int P=1e9+7;
int ch[N][2],fa[N];bool rev[N];
int stk[N],tp;
int pw[N],sum[N],isum[N],Sum[N],ans[N];
int n,m;

void create(int x,int val)
{
	ch[x][0]=ch[x][1]=fa[x]=rev[x]=0;
	pw[x]=sum[x]=val;
	isum[x]=Sum[x]=ans[x]=0;
}
bool isroot(int x){return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}
void reved(int x)
{
	std::swap(ch[x][0],ch[x][1]);
	rev[x]^=1;
}
void push_up(int x)
{
	sum[x]=((ll)sum[ch[x][0]]+sum[ch[x][1]]+pw[x]+isum[x])%P;
	ans[x]=((ll)ans[ch[x][0]]+ans[ch[x][1]]+Sum[x])%P;
}
void push_down(int x)
{
	if(rev[x])
	{
		if(ch[x][0])reved(ch[x][0]);
		if(ch[x][1])reved(ch[x][1]);
		rev[x]=0;
	}
}
void rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y],k=(x==ch[y][1]);
	if(!isroot(y))ch[z][y==ch[z][1]]=x; fa[x]=z;
	ch[y][k]=ch[x][!k]; if(ch[x][!k])fa[ch[x][!k]]=y;
	ch[x][!k]=y,fa[y]=x;
	push_up(y),push_up(x);
}
void splay(int x)
{
	stk[tp=1]=x;
	for(int y=x;!isroot(y);y=fa[y])stk[++tp]=fa[y];
	while(stk[tp])push_down(stk[tp]),tp--;
	while(!isroot(x))
	{
		int y=fa[x],z=fa[y];
		if(!isroot(y))(x==ch[y][1])==(y==ch[z][1])?rotate(y):rotate(x);
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	for(int y=0;x;y=x,x=fa[x])
	{
		splay(x);
		(isum[x]+=(-(ll)sum[y]+sum[ch[x][1]])%P)%=P;
		(Sum[x]+=(-(ll)sum[y]*sum[y]%P+(ll)sum[ch[x][1]]*sum[ch[x][1]])%P)%=P;
		ch[x][1]=y;
		push_up(x);
	}
}
void make_root(int x)
{
	access(x),splay(x),reved(x);
}
int get_root(int x)
{
	access(x),splay(x);
	while(ch[x][0])push_down(x),x=ch[x][0];
	splay(x);
	return x;
}
void link(int x,int y)
{
	make_root(x),make_root(y);
	fa[x]=y;
	(isum[y]+=sum[x])%=P;
	(Sum[y]+=(ll)sum[x]*sum[x]%P)%=P;
	push_up(y);
}
void lift(int x,int y)
{
	make_root(x),access(y),splay(x);
}
void update(int x,int val)
{
	lift(x,x);
	pw[x]=val;
	push_up(x);
}
int query(int x,int y)
{
	lift(x,y);
	return (((ll)sum[x]*sum[x]%P-ans[x])%P+P)%P;
}

int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		FOR(i,1,n)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			create(i,x);
		}
		FOR(i,1,n-1)
		{
			int u,v;
			scanf("%d%d",&u,&v);
			link(u,v);
		}
		while(m--)
		{
			int op,u,v;
			scanf("%d%d%d",&op,&u,&v);
			if(op==1)update(u,v);
			else if(op==2)printf("%d\n",query(u,v));
		}
	}
	return 0;
}