【bzoj3170】[Tjoi2013]松鼠聚会

3170: [Tjoi2013]松鼠聚会

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Description

有N个小松鼠，它们的家用一个点x,y表示，两个点的距离定义为：点(x,y)和它周围的8个点即上下左右四个点和对角的四个点，距离为1。现在N个松鼠要走到一个松鼠家去，求走过的最短距离。

Input

第一行给出数字N，表示有多少只小松鼠。0<=N<=10^5
下面N行，每行给出x,y表示其家的坐标。
-10^9<=x,y<=10^9

Output

表示为了聚会走的路程和最小为多少。

Sample Input

6
-4 -1
-1 -2
2 -4
0 2
0 3
5 -2

Sample Output

20

HINT

 

Source

 

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题意：N个点，求某一个点到其他点的切比雪夫距离之和最小化；

题解：

        推荐一篇页面比较好讲得很清楚的博客：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8253530.html

        两个点(x1,y1) 和 (x2,y2)

        切比雪夫距离：max(|x1-x2|,|y1-y2|)

        曼哈顿距离：|x1-x2|+|y1-y2|

        先介绍绝对值的两个性质：|a|+|b| = max(|a+b|,|a-b|)  max(|a|,|b|) = |(a+b)/2|+|(a-b)/2|

        可以利用数轴理解一下；

        利用上面的性质可以知道：
        若：(x,y) – > (x-y,x+y) 则新图的切比雪夫距离为原图的曼哈顿距离；

        若：(x,y) – > ((x-y)/2,(x+y)/2) 则新图的曼哈顿距离为原图的切比雪夫距离；

        为什么要转化呢？

        切比雪夫不好处理，转化后对曼哈顿距离分x，y排序，预处理某个值到前面的曼哈顿距离之和，可以做到O(1)查询，此题直接枚举哪个点；

        另外如果最近的点不要求在这些点里面而是平面的任何一个点，分别贪心选取x坐标,y坐标的排序后的中位数，注意切比雪夫转曼哈顿，有可能不是整点，要求整点还需要特判一下；

 

 
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#define Run(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define Don(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=100010;
int n,px[N],py[N];
ll upx[N],dnx[N],upy[N],dny[N];
struct data{
    int x,id;
    bool operator <(const data&A)const{
        return x<A.x;
    }
}X[N],Y[N];
int main(){
//  freopen("bzoj3170.in","r",stdin);
//  freopen("bzoj3170.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        X[i]=(data){a-b,i};
        Y[i]=(data){a+b,i};
    }
    sort(X+1,X+n+1);
    sort(Y+1,Y+n+1); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        px[X[i].id]=i;
        py[Y[i].id]=i;      
    } 
    ll ans=1e18;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        upx[i]=upx[i-1]+1ll*(i-1)*(X[i].x-X[i-1].x);
        upy[i]=upy[i-1]+1ll*(i-1)*(Y[i].x-Y[i-1].x);
    }
    for(int i=n;i;i--){
        dnx[i]=dnx[i+1]+1ll*(n-i)*(X[i+1].x-X[i].x);
        dny[i]=dny[i+1]+1ll*(n-i)*(Y[i+1].x-Y[i].x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=min(ans,upx[px[i]]+dnx[px[i]]+upy[py[i]]+dny[py[i]]);
    }
    printf("%lld\n",ans>>1);
    return 0;
}//by tkys_Austin;