【bzoj4443 scoi2015】小凸玩矩阵

题目描述

小凸和小方是好朋友，小方给了小凸一个 $n$ × $m$ $(n\le m)$ 的矩阵 $A$ ，并且要求小凸从矩阵中选出 $n$ 个数，其中任意两个数都不能在同一行或者同一列。现在小凸想知道，选出的 $n$ 个数中第 $k$ 大的数的最小值是多少。

输入输出格式

输入格式：

第 $1$ 行读入 $3$ 个整数 $n,m,k$ 。

接下来 $n$ 行，每一行有 $m$ 个数字，第 $i$ 行第 $j$ 个数字代表矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素 $A^{i,j}$ 。

输出格式：

输出包含一行，为选出的 $n$ 个数中第 $k$ 大数的最小值。

说明

对于 $20$ % 的数据， $1\le n\le m\le 9$

对于 $40$ % 的数据， $1\le n\le m\le 22,1\le n\le 12$

对于 $100$ % 的数据， $1\le k\le n\le m\le 250,1\le A^{i,j}\le 10^9$

 

题意：很清楚；

题解：

①二分第k大的数的最小值，如果a i,j<=mid 行i向列j连边，最后对行列二分图匹配，如果匹配数>=n-k+1向左二分，反之向左；

②说下证明（%%%Liu_runda）：有一个事实是对于二分图匹配>=n-k+1成立的答案mid是连续的（具有二分性的），假设最后二分出来的为ans，1~ ans-1显然不行(因为小于等于ans的凑不够n-k+1个)，ans+1~max可能不行(因为可能大于等于ans的凑不够k个)；所以ans就一定行吗？是的，因为由二分的定义可知，在ans选取的时候，一定会有n-k+1个小于等于ans的值，一定不会有n-k+1个小于ans的值（否则应该是ans-1）,则一定会有k+1个大于等于ans的值。

自然ans就是第k大了。得到存在性和最优性后，二分是安全舒适的；

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=251;
int n,m,k,mx,p[N<<1],b[N<<1],hd[N<<1],o,a[N][N];
struct Edge{int v,nt;}E[N*N];
char gc(){
    static char *p1,*p2,s[1000000];
    if(p1==p2) p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
    return (p1==p2)?EOF:*p1++;
}
int rd(){
    int x=0; char c=gc();
    while(c<'0'||c>'9') c=gc();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=gc();
    return x;
}
void adde(int u,int v){
    E[o] = (Edge){v,hd[u]}; hd[u] = o++;
    E[o] = (Edge){u,hd[v]}; hd[v] = o++;
}
bool match(int u){
    for(int i=hd[u],v;i!=-1;i=E[i].nt){
        if(b[v=E[i].v]) continue; b[v]=1;
        if(!p[v]||match(p[v])) {
            p[v]=u,p[u]=v;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
bool check(int mid){
    memset(hd,-1,sizeof(hd)); o=0;
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)if(a[i][j]<=mid) adde(i,j+n);
    int ans = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(b,0,sizeof(b));
        if(!p[i]&&match(i)) ans++;
    }
    return ans>=n-k+1;
}
int main()
{    freopen("bzoj4443.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4443.out","w",stdout);
    n=rd(); m=rd(); k=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++) 
    mx = max(a[i][j]=rd(),mx);
    int l=1,r=mx;
    while(l<r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%d\n",l);
    return 0;
}//by tkys_Austin;