【纪中集训2019.3.27】【集训队互测2018】小A的旅行(白)

题目

描述

​ \(0-n-1\)的图，满足\(n\)是\(2\)的整数次幂， $ i \to j $ 有 $ A_{i,j} $ 条路径；

​ 一条路径的愉悦值定义为起点和终点编号的\(and\)值;

​ 可以走多条路径；

​ 询问对于\(x \in [1,m] \ , \ y \in [0,n)\)，总步数为\(x\)，所有路径愉悦值\(and\)和为\(y\)的方案数；

​ 你只需要输出他们的异或值；

范围

​ $n\le 64 \ , \ m \le 20000 $;

题解

• 令\(w_{i,j}\)为\(i\)步值为\(j\)的方案，做\(fmt\);

• 根据\(w_{i,j}\)得出\(H_{i,j}\)表示\(and\)值为\(i\)，步数为\(j\)的方案数；

• 可以用多项式求逆求出\(1 + H_{i} + H_{i}^2 + \cdots = \frac{1}{1-H_{i}}\);

• 取前\(m\)项得到答案的\(w_{i,j}\)再\(ifmt\);

• 求\(w_{i,j}\)需要求\(A^i\)；

• 直接用矩阵乘法求$ A^i $是 $ n^3m $ 的；

• 考虑\(Q_S(A^i)\)为\(A^i\)中\(and\)值为\(S\)的方案数；

• 运算满足定律：

• $Q_S(A+B) \ = \ Q_S(A) \ + \ Q_S(B) $ ;

• \(Qs(kA) \ = \ k \ Q_S(A)\);

• 根据\(Cayley-Hamilton\)，令\(k = rk(A)\) ;

• 设\(A\)的特征多项式为：\(F(x)\)

• 对于任意正常数\(w\)都有:

  \[\begin{align} \sum_{i=0}^{k} a_iA_i = 0 \\ \sum_{i=0}^{k} a_iA^{i+w} = 0\\ Q_S(\sum_{i=0}^{k} a_iA^{i+w}) = 0\\ \sum_{i=0}^{k} a_i \ Q_S(A^{i+w}) = 0\\ \end{align} \]

• 这启示我们在\(Q_S(A^i)\)中存在一个\(k \le n\)阶的齐次递推；

• 所以只要\(O(n^4)\)求出前\(n+1\)项高斯消元解出\(a_i\)就可以递推\(Q_S\)；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define mod 998244353
  #define ll long long 
  using namespace std;
  const int M=80010,N=110;
  int n,m,l,r,a[N][N],b[N][N],c[N][N],w[M][N],f[N],h[N][M],g[N][M],len,L,rev[M];
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  int pw(int x,int y){
  	int re=1;
  	if(y<0)y+=mod-1;
  	while(y){
  		if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
  		y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
  	}
  	return re;
  }
  void inc(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
  void fmt(int*A,int l,int F){
  	if(~F){
  		for(int i=0;i<l;++i)
  		for(int j=(1<<l)-1;j>=1<<i;--j)if(j>>i&1)inc(A[j^(1<<i)],A[j]);
  		return ;
  	}
  	for(int i=0;i<l;++i)
  	for(int j=1<<i;j<1<<l;++j)if((j>>i)&1)dec(A[j^(1<<i)],A[j]);
  }
  void mul(int A[N][N],int B[N][N],int n){
  	static int tmp[N][N];
  	for(int i=0;i<n;++i)
  	for(int j=0;j<n;++j){
  		tmp[i][j]=0;
  		for(int k=0;k<n;++k)inc(tmp[i][j],(ll)A[i][k]*B[k][j]%mod);
  	}
  	for(int i=0;i<n;++i)
  	for(int j=0;j<n;++j)A[i][j]=tmp[i][j];
  }
  void gauss(int A[N][N],int n){
  	for(int i=0;i<n;++i){
  		int pos;for(pos=i;pos<=n&&!A[pos][i];++pos);
  		if(pos!=i)for(int j=i;j<=n;++j)swap(A[i][j],A[pos][j]);
  		int iv=pw(A[i][i],mod-2);
  		for(int j=i;j<=n;++j)A[i][j]=(ll)A[i][j]*iv%mod;
  		for(int j=0;j<n;++j)if(i!=j)
  		for(int k=n;k>=i;--k)dec(A[j][k],(ll)A[j][i]*A[i][k]%mod);
  	}
  	for(int i=0;i<n;++i)f[i+1]=A[i][n];
  }
  const int G=3;
  void ntt(int*A,int len,int F){
  	for(L=0;1<<L<len;++L);
  	for(int i=0;i<len;++i){
  		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
  		if(i<rev[i])swap(A[i],A[rev[i]]);
  	}
  	for(int i=1;i<len;i<<=1){
  		int wn=pw(G,F*(mod-1)/(i<<1));
  		for(int j=0;j<len;j+=i<<1){
  			int w=1;
  			for(int k=0;k<i;++k,w=(ll)w*wn%mod){
  				int x=A[j+k],y=(ll)w*A[j+k+i]%mod;
  				A[j+k]=(x+y)%mod,A[j+k+i]=(x-y+mod)%mod;
  			}
  		}
  	}
  	if(!~F){
  		int iv=pw(len,mod-2);
  		for(int i=0;i<len;++i)A[i]=(ll)A[i]*iv%mod;
  	}
  }
  void cpy(int*A,int*B,int l){for(int i=0;i<l;++i)A[i]=B[i];}
  void cls(int*A,int l,int r){for(int i=l;i<r;++i)A[i]=0;}
  void inv(int*A,int*B,int l){
  	if(l==0){B[0]=1;return;}
  	static int t[M];
  	inv(A,B,l>>1);
  	int len=l<<1;
  	cpy(t,A,l);cls(t,l,len);
  	ntt(t,len,1);ntt(B,len,1);
  	for(int i=0;i<len;++i)B[i]=(ll)B[i]*(2-(ll)t[i]*B[i]%mod+mod)%mod;
  	ntt(B,len,-1);cls(B,l,len);
  }
  int main(){
  	freopen("bai.in","r",stdin);
  	freopen("bai.out","w",stdout);
  	n=rd();m=rd();
  	for(l=0;1<<l<n;++l);
  	for(int i=0;i<n;++i)
  	for(int j=0;j<n;++j)a[i][j]=rd();
  	for(int i=0;i<n;++i)b[i][i]=1;
  	for(int i=1;i<=n+1;++i){
  		mul(b,a,n);
  		for(int j=0;j<n;++j)
  		for(int k=0;k<n;++k)inc(w[i][j&k],b[j][k]);
  		fmt(w[i],l,1);
  	}
  	for(int i=0;i<n;++i){
  		for(int j=0;j<n;++j)c[i][j]=w[n-j][i];
  		c[i][n]=w[n+1][i];
  	}
  	gauss(c,n);
  	for(r=n;r&&!f[r];--r);
  	for(int i=n+2;i<=m;++i)
  	for(int j=0;j<n;++j)
  	for(int k=1;k<=r;++k){
  		inc(w[i][j],(ll)f[k]*w[i-k][j]%mod);
  	}
  	for(int i=0;i<n;++i)
  	for(int j=1;j<=m;++j)dec(h[i][j],w[j][i]);
  	int len=1;for(;len<=m;len<<=1); 
  	for(int i=0;i<n;++i){
  		h[i][0]=1;
  		inv(h[i],g[i],len);
  		cls(g[i],m+1,len);
  	}
  	int ans=0;
  	for(int i=1;i<=m;++i){
  		for(int j=0;j<n;++j)w[i][j]=g[j][i];
  		fmt(w[i],l,-1);
  		for(int j=0;j<n;++j)ans^=w[i][j];
  	}
  	cout<<ans<<endl;
  	return 0;
  }