【纪中集训2019.3.21】桥

题意

描述

有\(M\)条河，每条河的两边有居民点，所以共有\(M+1\)排居名点;

如果要从一排居名点到另一排相邻的居民点需要过河；

现在有\(n\)个人，每个人的起点坐标是\((P_{i},S_{i})\)，终点\((Q_{i},T_{i})\)；

你可以在每条河上修建一座桥，过河必须通过桥；

相邻居民点距离为\(1\)，不考虑过河的时间；

问\(n\)个人到终点的路径之和最小是多少；

范围

\(1 \le N , M \le 10^5 \ , \ 1 \le S_{i} ,T_{i} \le 10^9 ,\ 1 \le P_{i},Q_{i} \le M+1\)

题解：

• 答案一定在\(S_{i}\)或者\(T_{i}\)上(我不会证明。。。)

• 考虑所有的可行位置为\(a_{i}\)；

• 一条路径的贡献可以放到每座桥上，分为两部分：

  • 经过桥\(i 和 i - 1\) \(b_{i}\)次；
  • 从\(a_{k}\)到桥\(i\)，\(a_{k}\)为某个起点或者终点，设\(g_i(j) = \sum_{k}|a_{k}-a_{j}|\)；
  \[\begin{align} f_{1,j} &= g_{1}(j) \ \ &(i=1) \\ f_{i,j} &= min \{ \ f_{i-1,k} \ + \ b_{i} |a_{i}-a_{k}| \ + \ g_{i}(j) \} \ \ &(i \gt 1) \\ \end{align} \]

• 所以得到一个\(O(n^2m)\)的\(dp\)，可以用单调队列简单优化到\(O(nm)\)；

• \(g_{1}\)一定是凸函数，所以\(f_{1}\)一定是凸的，同时由于凸函数对加法封闭，所以直接考虑转移前半部分：

• 考虑在\(f_{i-1}\)上找到两个斜率为 \(-b_{i}\) 和\(b_{i}\)的点设为\(j1和j2\)

• \[f_{i,j} = g_{i}(j） + \begin{cases} &f_{i-1,j1} &+& b_{i} |a_{i}-a_{j1}| &(j \lt j1)\\ &f_{i-1,j} &+ &b_{i} |a_{i}-a_{j}| &(j1 \le j \le j2)\\ &f_{i-1,j2} &+ &b_{i} |a_{i}-a_{j2}| &(j2 \lt j)\\ \end{cases} \]

• (分析绝对值简单比较就可以得到)

• 所以\(f_{i-1} \to f_{i}\)就是区间赋值一次函数，区间加一次函数，所以\(f_{i}\)仍然是凸的；

• 用线段树或者\(set\)维护差分即可；

• 注意要另外维护一下\(f_{i,1}\) ;

  #include<bits/stdc++.h>
  #define pb push_back
  #define mk make_pair
  #define ls (k<<1)
  #define rs (k<<1|1)
  #define ll long long 
  #define inf 1e18
  #define il inline 
  using namespace std;
  const int N=100010;
  int n,m,tot,sub[N<<1],P[N],S[N],Q[N],T[N];
  vector<int>a[N];
  ll B,sum[N],b[N],ans;
  il char gc(){
  	static char*p1,*p2,s[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  il int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  ll s[N<<3],d[N<<3],dr[N<<3],ly1[N<<3],ly2[N<<3];
  il void build(int k,int l,int r){
  	ly2[k]=inf;
  	if(l==r){
  		if(!l)d[l]=-inf;
  		if(l==tot)d[l]=inf;
  		return;
  	}
  	int mid=l+r>>1;
  	build(ls,l,mid);
  	build(rs,mid+1,r);
  }
  il void mfy1(int k,int l,int r,ll x){
  	d[k]+=x;dr[k]+=x;ly1[k]+=x;
  	s[k]+=(sub[r+1]-sub[l])*x;
  }
  il void mfy2(int k,int l,int r,ll x){
  	d[k]=dr[k]=ly2[k]=x;ly1[k]=0;
  	s[k]=(sub[r+1]-sub[l])*x; 
  }
  il void pushup(int k,int l,int r){
  	s[k]=s[ls]+s[rs];
  	dr[k]=dr[rs];
  }
  il void pushdown(int k,int l,int r){
  	if(ly2[k]!=inf){
  		int mid=l+r>>1; 
  		mfy2(ls,l,mid,ly2[k]);
  		mfy2(rs,mid+1,r,ly2[k]);
  		ly2[k]=inf;
  	}
  	if(ly1[k]){
  		int mid=l+r>>1;
  		mfy1(ls,l,mid,ly1[k]);
  		mfy1(rs,mid+1,r,ly1[k]);
  		ly1[k]=0;
  	}
  }
  void update1(int k,int l,int r,int x,int y,ll v){
  	if(l==x&&r==y){mfy1(k,l,r,v);return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	pushdown(k,l,r);
  	if(y<=mid)update1(ls,l,mid,x,y,v);
  	else if(x>mid)update1(rs,mid+1,r,x,y,v);
  	else update1(ls,l,mid,x,mid,v),update1(rs,mid+1,r,mid+1,y,v);
  	pushup(k,l,r);
  }
  void update2(int k,int l,int r,int x,int y,ll v){
  	if(l==x&&r==y){mfy2(k,l,r,v);return;}
  	int mid=(l+r)>>1;
  	pushdown(k,l,r);
  	if(y<=mid)update2(ls,l,mid,x,y,v);
  	else if(x>mid)update2(rs,mid+1,r,x,y,v);
  	else update2(ls,l,mid,x,mid,v),update2(rs,mid+1,r,mid+1,y,v);
  	pushup(k,l,r);
  }
  int query1(int k,int l,int r,ll x){
  	if(l==r)return l;
  	int mid=l+r>>1;
  	pushdown(k,l,r);
  	if(dr[ls]>=x)return query1(ls,l,mid,x);
  	else return query1(rs,mid+1,r,x);
  }
  ll query2(int k,int l,int r,int x,int y){
  	if(l==x&&r==y)return s[k];
  	pushdown(k,l,r);
  	int mid=l+r>>1;
  	if(y<=mid)return query2(ls,l,mid,x,y);
  	else if(x>mid)return query2(rs,mid+1,r,x,y);
  	else return query2(ls,l,mid,x,mid)+query2(rs,mid+1,r,mid+1,y);
  }
  il void Update1(int cur){
  	sort(a[cur].begin(),a[cur].end());
  	int sz=a[cur].size();
  	a[cur].push_back(tot);
  	ans+=sum[cur];
  	for(int i=0,now=1,lst=1;i<=sz;++i){
  		lst=now,now=a[cur][i];
  		int x=2*i-sz;
  		if(lst<now)update1(1,0,tot,lst,now-1,x);
  	}
  }
  il void Update2(int cur){
  	int x1=query1(1,0,tot,-b[cur]);
  	int x2=query1(1,0,tot,b[cur]);
  	if(1<x1){
  		ans=ans+query2(1,0,tot,1,x1-1)+1ll*(sub[x1]-sub[1])*b[cur];
  		update2(1,0,tot,1,x1-1,-b[cur]);
  	}
  	if(x2<tot){update2(1,0,tot,x2,tot-1,b[cur]);}
  }
  int main(){
  	freopen("bridge.in","r",stdin);
  	freopen("bridge.out","w",stdout);
  	n=rd();m=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		P[i]=rd()-1;S[i]=rd();Q[i]=rd()-1;T[i]=rd();
  		if(P[i]>Q[i])swap(P[i],Q[i]),swap(S[i],T[i]);
  		sub[++tot]=S[i],sub[++tot]=T[i];
  	}
  	sub[++tot]=1;
  	sort(sub+1,sub+tot+1);
  	tot=unique(sub+1,sub+tot+1)-sub-1;
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		S[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,S[i])-sub;
  		T[i]=lower_bound(sub+1,sub+tot+1,T[i])-sub; 
  		int l=P[i],r=Q[i];
  		if(l==r){ans+=abs(sub[T[i]]-sub[S[i]]);continue;}
  		a[l+1].pb(S[i]);sum[l+1]+=sub[S[i]]-1;
  		a[r].pb(T[i]);sum[r]+=sub[T[i]]-1;
  		b[l+2]++,b[r+1]--;
  	}
  	build(1,0,tot);
  	Update1(1);
  	for(int i=2;i<=m;++i){
  		b[i]+=b[i-1];
  		Update2(i);
  		Update1(i);
  	}
  	int pos=query1(1,0,tot,0);
  	if(pos>1)ans+=query2(1,0,tot,1,pos-1);
  	printf("%lld\n",ans);
  	return 0;
  }
  

  //这是fxy写的set;
  #pragma GCC optimize(3)
  #include<iostream>
  #include<cstdio>
  #include<queue>
  #include<cstring>
  #include<cmath>
  #include<stack>
  #include<set>
  #include<algorithm>
  #define rg register
  #define ll long long
  #define LDB long double
  #define ull unsigned long long
  #define view(i,x) for(rg int i=hd[x];i!=-1;i=e[i].nt)
  #define go(i,x,a) for(rg int i=a;i<x;i++)
  #define inf 0x3f3f3f3f
  #define INF 0x7fffffff
  using namespace std;
  
  const int maxn=1e5+5;
  int n,m,f[maxn],l,r;
  vector<int>g[maxn];
  multiset<int>s,t;
  ll ans=0;
  
  inline int rd(){
      int ret=0,af=1; char gc=getchar();
      while(gc < '0' || gc > '9'){ if(gc=='-') af=-af; gc=getchar(); }
      while(gc >= '0' && gc <= '9') ret=ret*10+gc-'0',gc=getchar();
      return ret*af;
  }
  
  inline void update(int x){
  	if(l <= x && x <= r){
  		s.insert(x); t.insert(x);
  		l=r=x; return ;
  	}
  	if(x < l){
  		ans+=l-x; s.erase(s.find(l));
  		if(s.find(l) == s.end()){
  			r=l; l=s.size() > 1 ? *(--s.end()):x;
  		}else r=l;
  		s.insert(x); s.insert(x); t.insert(r);
  		return ;
  	}
  	if(x > r){
  		ans+=x-r; t.erase(t.find(r));
  		if(t.find(r) == t.end()){
  			l=r; r=t.size() > 1 ? *(t.begin()):x;
  		}else l=r;
  		t.insert(x); t.insert(x); s.insert(l);
  	}
  }
  
  int main(){
      //#ifndef ONLINE_JUDGE
      freopen("bridge.in","r",stdin);
      freopen("bridge.out","w",stdout);
      //#endif
      n=rd(); m=rd(); int p,q,a,b;
      go(i,n+1,1){
      	p=rd(); a=rd(); q=rd(); b=rd();
      	if(p == q){ ans+=abs(a-b); continue; }
      	if(p > q) swap(p,q),swap(a,b);
      	g[p].push_back(a);
      	g[q-1].push_back(b);
      	if(p+1 <= q-1) f[p+1]++,f[q]--;
  	}
  	go(i,m+1,1) f[i]+=f[i-1];
  	l=0; r=inf;
  	s.insert(l); t.insert(r);
  	go(i,m+1,1){
  		if(i > 1){
  			while(s.size() > f[i]) s.erase(s.begin());
  			while(t.size() > f[i]) t.erase(--t.end());
  			if(s.size() == 0) s.insert(0);
  			if(t.size() == 0) t.insert(inf);
  		}
  		go(j,g[i].size(),0) update(g[i][j]);
  	}
  	printf("%lld",ans);
      return 0;
  }