【纪中集训2019.3.20】铁路
题意
描述
现在有一颗树形状的双向铁路，每条边的行驶时间是\(1\)；
给出\(m\)条列车行驶的路径\(s_{i}\to t_{i}\)，问列车相遇的对数(无序对)；
\(i和j\)号列车相遇当且仅当存在某个时刻使得\(i\)和\(j\)在同一个位置，注意这个位置可能在点上，也可能在边上；
范围
$0 \le n ,m \le 10^5 $
题解
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相遇只有两种，同向和逆向；
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把边也拆成点可以解决在边上相遇的问题；
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考虑把每条路径按深度的大小关系划分成上行和下行(lca在上行)；
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这样就只需要考虑上行和上行相交，上行和下行分别相交；
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上行和上行相加直接统计子树内出发深度相同的路径的个数；
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上行和下行相交树剖后变为一次函数\(x+c\)和\(-x+c\)的交点个数；
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逆时针旋转\(45^{\circ}\) 之后做扫描线+\(BIT\)即可；
#include<bits/stdc++.h> #define pb push_back #define ll long long using namespace std; const int N=200100,M=20; int n,m,o=1,hd[N]; int size[N],sn[N],tp[N],fa[N],idx,st[N],id[N],dep[N]; int sz,rt[N],ls[N*M],rs[N*M],sum[N*M],cnt1,cnt2,c[N<<1]; struct Edge{int v,nt;}E[N<<1]; vector<int>vec[N]; struct data{ int x,p,typ; data(int _x=0,int _p=0,int _typ=0):x(_x),p(_p),typ(_typ){}; bool operator <(const data&A)const{return p<A.p;} }l1[N*M],l2[N*M]; ll ans; char gc(){ static char*p1,*p2,s[1000000]; if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,1,1000000,stdin); return(p1==p2)?EOF:*p1++; } int rd(){ int x=0;char c=gc(); while(c<'0'||c>'9')c=gc(); while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc(); return x; } void adde(int u,int v){ E[o]=(Edge){v,hd[u]};hd[u]=o++; E[o]=(Edge){u,hd[v]};hd[v]=o++; } void dfsA(int u,int F){ size[u]=1;sn[u]=0; dep[u]=dep[fa[u]=F]+1; for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){ int v=E[i].v; if(v==F)continue; dfsA(v,u); size[u]+=size[v]; if(size[v]>size[sn[u]])sn[u]=v; } } void dfsB(int u,int T){ st[++idx]=u;id[u]=idx;tp[u]=T; if(sn[u])dfsB(sn[u],T); for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){ int v=E[i].v; if(v==fa[u]||v==sn[u])continue; dfsB(v,v); } } int lca(int u,int v){ int tu=tp[u],tv=tp[v]; while(tu!=tv){ if(dep[tu]<dep[tv])swap(u,v),swap(tu,tv); u=fa[tu],tu=tp[u]; } return dep[u]<dep[v]?u:v; } int go(int u,int d){ if(d<0)return 0; int tu=tp[u]; while(dep[u]-dep[tu]<d){ d-=dep[u]-dep[tu]+1; u=fa[tu],tu=tp[u]; } return st[id[u]-d]; } void update(int&k,int l,int r,int x,int y){ if(!k)k=++sz; sum[k]+=y; if(l==r)return; int mid=l+r>>1; if(x<=mid)update(ls[k],l,mid,x,y); else update(rs[k],mid+1,r,x,y); } void merge(int&x,int&y){ if(!x||!y){x=x+y;return;} if(!ls[x]&&!rs[x]){ sum[x]=sum[x]+sum[y]; return ; } merge(ls[x],ls[y]); merge(rs[x],rs[y]); sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]]; } int query(int k,int l,int r,int x){ --sum[k]; if(l==r)return sum[k]; int mid=l+r>>1; if(x<=mid)return query(ls[k],l,mid,x); else return query(rs[k],mid+1,r,x); } void dfsC(int u){ for(int i=hd[u];i;i=E[i].nt){ int v=E[i].v; if(v==fa[u])continue; dfsC(v); merge(rt[u],rt[v]); } for(int i=0;i<vec[u].size();++i){ int v=vec[u][i]; ans+=query(rt[u],1,n,dep[v]); } } void init1(int x1,int y1,int x2,int y2){ int x,y,z; x=x1-y1+n; y=x2-y2+n; z=x1+y1; l1[++cnt1]=data(x-1,z,-1); l1[++cnt1]=data(y,z,1); } void init2(int x1,int y1,int x2,int y2){ int x,y,z; x=x1+y1; y=x2+y2; z=x1-y1+n; l2[++cnt2]=data(z,x,1); l2[++cnt2]=data(z,y+1,-1); } void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=x&-x)c[x]+=y;} int ask(int x){int re=0;for(;x;x-=x&-x)re+=c[x];return re;} int main(){ freopen("train.in","r",stdin); freopen("train.out","w",stdout); n=rd(); for(int i=1;i<n;++i){ int u=rd(),v=rd(); adde(u,i+n),adde(v,i+n); } dfsA(1,0); dfsB(1,1); n<<=1;m=rd(); int dg=0; for(int i=1,u,v,p,q,tu,tv,d;i<=m;++i){ u=rd();v=rd();p=lca(u,v); q=go(v,dep[v]-dep[p]-1); if(dg){ printf("%d %d %d %d\n",u,v,p,q); } update(rt[u],1,n,dep[u],1); vec[p].pb(u); tu=tp[u];d=0; while(tu!=tp[p]){ init1(id[tu],d+dep[u]-dep[tu],id[u],d); d+=dep[u]-dep[tu]+1; u=fa[tu],tu=tp[u]; } init1(id[p],d+dep[u]-dep[p],id[u],d); d+=dep[u]-dep[p]; if(v==p)continue; tv=tp[v];d+=dep[v]-dep[p]; while(tv!=tp[q]){ init2(id[tv],d-dep[v]+dep[tv],id[v],d); d-=dep[v]-dep[tv]+1; v=fa[tv],tv=tp[v]; } init2(id[q],d-dep[v]+dep[q],id[v],d); d-=dep[v]-dep[q]; } dfsC(1); sort(l1+1,l1+cnt1+1); sort(l2+1,l2+cnt2+1); n<<=1; for(int i=1,j=1;i<=cnt1;++i){ while(j<=cnt2&&l2[j].p<=l1[i].p){ add(l2[j].x,l2[j].typ); j++; } ans+=l1[i].typ*ask(l1[i].x); } printf("%lld\n",ans); return 0; }
