bzoj4035【HAOI2015】数组游戏

题目描述

有一个长度为N的数组，甲乙两人在上面进行这样一个游戏：首先，数组上有一些格子是白的，有一些是黑的。然

后两人轮流进行操作。每次操作选择一个白色的格子，假设它的下标为x。接着，选择一个大小在1~n/x之间的整数

k，然后将下标为x、2x、...、kx的格子都进行颜色翻转。不能操作的人输。现在甲（先手）有一些询问。每次他

会给你一个数组的初始状态，你要求出对于这种初始状态他是否有必胜策略。

 

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输入格式

接下来2*K行，每两行表示一次询问。在这两行中，第一行一个正整数W，表示数组中有多少个格子是白色的，第二

行则有W个1~N之间的正整数，表示白色格子的对应下标。

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输出格式

 对于每个询问，若先手必胜输出"Yes"，否则输出"No"。答案之间用换行隔开

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数据范围

N<=1000000000 ， K,W<=100 ， 不会有格子在同
一次询问中多次出现。

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• 题解

  • 可以发现变颜色这类问题是符合分解理论的，求出所有位置的sg值异或得到游戏的sg值；
  • 考虑所有位置的sg值如何求；
  • 可以写出一个$O(n^2)$的暴力(注意终止状态的$sg$为0);
  • 考虑改进暴力，打表发现对于一个$n$的所有$i$，$\frac{n}{i}$相同的位置sg值也相同；
  • 将$n$下底分块，就只需要求出$\sqrt{n}$个块的sg函数；
  • 由于是异或，只需要判断在某个块里的奇偶性就可以知道经过这个块的异或值；
  • 同时sg值由于是$mex$所以没有很大，$i<=sqrt(n)$的直接存，$i>sqrt{n}$的存在$\frac{n}{i}$里面：
  • 时间复杂度：$O(n)$ ?， 空间复杂度：$O(\sqrt{n})$;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5;
int n,m,u,a[N],b[N],tot,vis[N],q[N];
void pre(){
    for(int i=tot,tmp;i;--i){
        tmp=0;
        int x = q[i];
        for(int j=x*2,lst;j<=n;j=lst+x){
            lst=n/(n/j)/x*x;
            int t=lst<=u?a[lst]:b[n/lst];
            vis[tmp^t]=i;
            if(((lst-j)/x+1)&1)tmp^=t;
        }
        for(int j=1;;++j)if(vis[j]!=i){tmp=j;break;}
        if(x<=u)a[x]=tmp;else b[n/x]=tmp;
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj4035.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4035.out","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d%d",&n,&m);u=sqrt(n);
    for(int i=1,lst;i<=n;i=lst+1){lst=n/(n/i);q[++tot]=lst;}
    pre();
    for(int i=1,x,tmp;i<=m;++i){
        scanf("%d",&x);tmp=0;
        for(int j=1,y;j<=x;++j){
            scanf("%d",&y);
            y=n/(n/y);
            tmp^= y<=u?a[y]:b[n/y];
        }
        puts(tmp?"Yes":"No");
    }
    return 0;
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,vis[N],sg[N];
int main(){
//    freopen("exp.in","r",stdin);
    freopen("exp.out","w",stdout);
    for(n=1;n<=1000;++n){
        for(int i=1;i<=n;++i)sg[i]=0;
        for(int i=n;i;--i){
            for(int j=0;j<=n/i;++j)vis[j]=0;
            int tmp = 0;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
                tmp ^= sg[j];
                vis[tmp]=1;
            }
            for(int j=1;j<=n/i;j++)if(!vis[j]){sg[i]=j;break;}
        }
        //for(int i=1;i<=100-n+1;++i)putchar(' ');
        //for(int i=1;i<=n;++i)putchar(' ');
        for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",sg[i]);
        //printf("%d ",sg[n-2]);
        //for(int i=3;i<=n;i+=3)printf("%d ",sg[i]);
        puts("");
    }
    /*
    int now = 20, cnt=0;
    for(int i=now,j;i;i=j,now>>=1){
        j = i - ((now + 1)>>1);
        for(int k=i;k>j;--k)printf("%d",sg[k]),cnt++;
        puts("");
    }
    cout<<cnt<<endl;
    */
    return 0;
}