hihoCoder offer 收割编程练习赛 83 C 播放列表

题目

用 $1,2,3\dots ,N$ 代表 $N$ 首歌。设想有 $L$ 个格子排成一排，编号 $1$ 到 $L$ 。考虑将这些数字挨个填进格子里的情形。假设当前要往第 $i$ 个格子里填一个数字（此时前面 $i-1$个坑里都已经填上数字了）若只考虑相邻两个数字不能相同这个条件，则第 $i$ 个格子有 $N-1$ 种填法。不难想到我们还需要知道前 $i-1$ 个格子里填了多少种数字（即多少个不同数字）。

以下描述中，“相邻两个数字不同”这一条件总是满足，不再重复。

以 $f(i,j)$ 表示“前 $i$ 个格子填好之后共有 $j$ 个不同数字”（不必知道这 $j$ 个数字具体是哪些）的方案数。则 $f(i,j)$ 可以转移到 $f(i+1,j)$ 和 $f(i+1,j+1)$，分别对应着第 $i$ 个格子内填余下的 $n-j$ 个数中的某一个和填前 $i$ 个格子中除了第 $i$ 个格子里的数之外的 $j-1$ 个数中的某一个，写成倒推的形式即
$$f(i,j)=(j-1)f(i-1,j)+(n-j+1)f(i-1,j-1),$$
边界条件是 $f(1,1)=n$ 。

我们还可以从另一个角度考虑这个问题。

考虑某个合法的播放列表 $a_1,a_2,\dots ,a_N$，用 $p_i$ 表示第 $i$ 个新数（即前面没出现过的数）所在的位置（即格子编号）显然有 $p_1=1$，$p_2=2$，并且 $a_{p_1},a_{p_2},\dots ,a_{p_N}$ 构成 $1$ 到 $N$ 的一个排列。

考虑映射 $a_1,a_2,\dots ,a_N\mapsto a_{p_1},a_{p_2},\dots ,a_{p_N}$

不难看出，根据上述映射可将所有合法的播放列表分成 $N!$ 类，且每一类中的排列个数相等，将此数目记为 $g(N-1,L-N)$ 。对于 $i=2,4,\dots ,N$，令 $d_i=p_{i+1}-p_i-1$（$d_{N+1}=L+1$）通过枚举 $d_2,\dots ,d_N$，我们可以给出 $g(N-1,L-N)$ 的表达式
$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{\begin{array}{c}{d}_2,\dots ,d_N\\ \sum _{i=2}^N{d}_i=L-N\end{array}}\prod _{i=2}^N(i-1{)}^{d_i}\end{array}$$
那么有
$$\begin{array}{}\text{(2)}& g(m,n)=\sum _{\begin{array}{c}{d}_1,\dots ,d_m\\ \sum _i{d}_i=n\end{array}}\prod _{i=1}^m{i}^{d_i}\end{array}$$

关于 $g(m,n)$，容易得到如下递推式
$$\begin{array}{}\text{(3)}& g(m,n)=g(m-1,n)+ng(m,n-1)\end{array}$$
边界条件：$$\begin{gathered} g(1,n)=1, \\ ,f(m,0)=1 \end{gathered}$$
此式的组合意义可以如此理解：第一项 $g(m-1,n)$ 对应于 $d_m=0$ 的情形，第二项 $ng(m,n-1)$ 对应于 $d_m>0$ 的情形。

我想知道 $\text{(2)}$ 式能否进一步化简。

枚举 $d_1,\dots ,d_m$ such that $\sum _i{d}_i=n$，对应着 ordered partition