Mail.Ru Cup 2018 Round 2 Problem C Lucky Days

设在第 $x$ 天二人都 lucky，则有
$ x = y_a t_a + R_a x= y_b t_ b + R_b$

约束条件：
$ l_a \le R_a \le r_a $，$ l_b \le R_b \le r_b y_a, y_b \ge 0$

写成同余方程组

${\begin{cases} x \equiv R_{a} (\mod t_{a}) \\ x \equiv R_{b} (\mod t_{b}) \end{cases}$

设 $x_{0}$ 是上述同余方程组的一个特解，则其通解可表为 $x = x_{0} + k lcm (t_{a}, t_{b})$ ， $k \in Z$ 。

容易证明，同余方程组

${\begin{cases} x \equiv r_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv r_{2} (\mod m_{2}) \end{cases}$
有解的充要条件是 $gcd (m_{1}, m_{2}) ∣ (r_{1} - r 2)$ ，此充要条件亦可写成 $r_{2} = r_{1} + k gcd (m_{1}, m_{2}), k \in Z$ ，或者写成 $r_{1} \equiv r_{2} (\mod gcd (m_{1}, m_{2}))$ 。

解法：二分答案。
实现：http://codeforces.com/contest/1055/submission/45569689

总结

求解形如
$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) \\ ⋮ \\ x \equiv a_{n} (\mod m_{n}) \end{cases} \end{matrix}$
的同余方程组。

考虑两个方程构成的同余方程组
$\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) \end{cases} \end{matrix}$
即
$\begin{matrix} (3) & {\begin{cases} x = m_{1} s + a_{1} \\ x = m_{2} t + a_{2} \end{cases} \end{matrix}$
$s, t$ 满足方程
$\begin{matrix} (4) & m_{1} s + a_{1} = m_{2} t + a_{2} \end{matrix}$
根据裴蜀定理， $(4)$ 有解的充要条件是 $gcd (m_{1}, m_{2}) ∣ (a_{1} - a_{2})$ 。以下假设此条件成立，并令 $d = gcd (m_{1}, m_{2})$ 。 $(4)$ 亦可写成
$\begin{matrix} (5) & m_{1} s = m_{2} t + (a_{2} - a_{1}) \end{matrix}$
方程 $(5)$ 等价于
$\begin{matrix} (6) & m_{1} s \equiv a_{2} - a_{1} (\mod m_{2}) \end{matrix}$
注意：一个不定方程等价于一个同余方程。要熟悉这两种形式的相互转化。
方程 $(6)$ 又等价于
$\begin{matrix} (7) & \frac{m_{1}}{d} s \equiv \frac{a_{2} - a_{1}}{d} (\mod \frac{m_{2}}{d}) \end{matrix}$
解得
$s \equiv {(\frac{m_{1}}{d})}^{- 1} \frac{a_{2} - a_{1}}{d} (\mod \frac{m_{2}}{d})$
其中 ${(\frac{m_{1}}{d})}^{- 1}$ 表示 $\frac{m_{1}}{d}$ 在模 $\frac{m_{2}}{d}$ 下的逆元，可用扩展欧几里得算法求得。令 $b = {(\frac{m_{1}}{d})}^{- 1} \frac{a_{2} - a_{1}}{d}$ ，有
$\begin{matrix} (8) & s = k \frac{m_{2}}{d} + b \end{matrix}$
将 $(8)$ 代入 $(3)$ ，得
$\begin{matrix} (9) & x = k \frac{m_{1} m_{2}}{d} + m_{1} b + a_{1} \end{matrix}$
即
$\begin{matrix} (10) & x \equiv m_{1} b + a_{1} (\mod \frac{m_{1} m_{2}}{d}) \end{matrix}$
至此，我们将同余方程组 $(2)$ 化成了等价（同解）的同余方程 $(10)$ 。

我们证明了

若 $(2)$ 有解，则其在模 $lcm (m_{1}, m_{2})$ 下有唯一解 $x_{0}$ 。

故可用 $x \equiv x_{0} (\mod lcm (m_{1}, m_{2}))$ 取代 $(1)$ 中的前两个方程，不断如此操作，最后将得到 $x \equiv a (\mod lcm (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}))$ ，这样就得到了 $(1)$ 的通解，也意味着

若 $(1)$ 有解，则其在模 $lcm (m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n})$ 下有唯一解。

后记

Miskcoo 的文章从 $(4)$ 的特解和通解入手证明了 $(3)$ 在模 $lcm (m_{1}, m_{2})$ 下有唯一解，其思路更为简洁。

用扩展 Euclid 算法求出 $(4)$ 的特解 $s^{'}, t^{'}$ ，即可得到 $(3)$ 的特解 $x_{0} = s^{'} m_{1} + a_{1}$ ，然后用 $x \equiv x_{0} (\mod lcm (m_{1}, m_{2}))$ 替换 $(1)$ 中的前两个方程。