欧拉函数是积性函数的证明

说明：本文用 \(\phi\) 表示欧拉函数而不用 \(\varphi\)，尽管后者更为常用。\(\DeclareMathOperator{\lcm}{lcm}\)

欧拉函数 \(\phi\colon\mathbb Z_{>0}\to \mathbb Z\) 定义为

\[ \phi(n) = |\{m\in \mathbb Z\colon 1 \le m \le n, \gcd(m, n) = 1\}|\]

换言之，\(\phi(n)\) 是模 \(n\) 的既约剩余系中的元素个数（或者说「模 \(n\) 的既约剩余系的大小」）。

一般地说，定义域为正整数的函数称为数论函数。数论函数 \(f\) 是积性函数如果对任意互素的正整数 \(a,b\) 有 \(f(ab) = f(a) f(b)\) 。

下面我们证明欧拉函数 \(\phi\) 是积性函数。

证法一（容斥原理）

用 \([n]\) 表示 \(\\{1,2,\dots, n\\}\)，\([0]:= \emptyset\) 。设 \(n\) 有 \(k\) 个不同的质因子：\(p_1 < p_2 < \dots < p_k\)，由容斥原理有

\begin{aligned}
\phi(n) &= \sum_{I\subseteq [k]} (-1) ^{|I|} \frac{n}{\prod_{i\in I}p_i} \\
&= n\sum_{I\subseteq [k]} 1^{k - |I|} \prod_{i\in I} -\frac{1}{p_i} \\
&= n (1 - \frac1{p_1}) ( 1 - \frac1{p_2}) \dots (1 - \frac1{p_k})
\end{aligned}

证法二（中国剩余定理）

设 \(\gcd(a,b)=1\)。设 \(A,B,C\) 分别是模 \(a,b,ab\) 的既约剩余系。我们证明：存在从 \(A\times B\) 到 \(C\) 的双射。

首先证明存在 \(C\to A\times B\) 的单射，实际上有 \(\forall x \in C\)，\(x\mapsto (x\bmod a, x\bmod b)\) 是单射。\(\forall x, y \in C\)，
\begin{cases}
x \equiv y\pmod a \\
x \equiv y\pmod b
\end{cases}
等价于
\begin{cases}
a\mid (x - y) \\
b\mid (x - y)
\end{cases}
这意味着 \(\lcm(a,b)\mid (x -y)\) 。
若 \(a\ne b\)，则有 \(a,b\) 互质，从而 \(ab \mid (x - y)\)，即 \(x\equiv y \pmod{ab}\)，所以 \(x\mapsto (x\bmod a, x\bmod b)\) 是单射。

又根据中国剩余定理，\(\forall r_1 \in A, r_2 \in B\)，同余方程组
\begin{cases}
x \equiv r_1 \pmod{a}\\
x \equiv r_2 \pmod{b}
\end{cases}
在模 \(ab\) 下有唯一解。