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丢番图方程
Codeforces 1013E
曼哈顿最小生成树
CSA Round 84 The Sprawl
条件期望
条件概率是条件期望的特例。
\(E(X|A)\)：「在事件 \(A\) 发生的条件下」随机变量 \(X\) 的期望。
全期望公式
设 \(A_1, A_2, \dots, A_i, \dots\) 是样本空间的一个划分。
则有
\(E(X) = \sum_i E(X|A_i) \Pr(A_i)\)
离散随机变量 \(X,Y\)
\(E(X|Y = y) = \sum_{\omega \colon Y(\omega) = y} E(X|\omega)\)
字符串哈希
对于字符串 \(S\)，将 \(S\) 从右到左第 \(i\) 个字符的权重置为 \(p^i\)，求和后对 \(q\) 取模，模数即为字符串的哈希值。
也就是把字符串看作一个 \(p\) 进制整数。
\(p\) 通常是一个较小的质数，如 131，257，313
\(q\) 通常是一个较大的质数，如 \(10^9 + 7\)
与正整数的 \(p\) 进制表示相同，字符串哈希也采用「左边是高位，右边是低位」的方法。
这样做有两个好处：
- 便于采用秦九韶算法求字符串的哈希值
- 用子串 \(S[i, i+l)\) 的哈希值，可以 \(O(1)\) 算出子串 \(S[i+1, i+l+1)\) 的哈希值。
$h(S[i+1, i + l + 1)) = (h(S[i, i+l) ) - S[i] p^{l-1} ) p + S[i+l] $ - \(O(n)\) 预处理每个前缀的哈希值 \(h_i\) 之后可以 \(O(1)\) 地求出任意子串的哈希值。
$h(S[l,r]) = h_r - h_{l-1} p^{r-l+1} $
莫队
平方根分块（query sqrt decomposition）
