Bolzano-Weierstrass 定理

这个定理是从吴崇试老师的数学物理方法课里看到的，表述如下：

有界的无穷（复数）序列至少有一个聚点。

序列的聚点定义为

给定序列 \(\\{z_n\\}\)，若存在复数 \(z\)，对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) 恒有无穷多个 \(z_n\) 满足 \(| z- z_n| < \varepsilon\)，则称 \(z\) 为 \(\\{z_n\\}\) 的一个聚点。

\(\\{z_n\\}\) 有聚点等价于 \(\\{z_n\\}\) 有收敛子列。我们试图构造出 \(\\{z_n\\}\) 的一个收敛子列。

先证明有界实数列满足 B-W 定理，即

有界实数列必有收敛子列。

证明：设序列 \(\\{a_n\\}\) 都落在 \([a,b]\) 中，将 \([a,b]\) 等分成 \([a, (a+b)/2]\) 和 \([(a+b)/2, b]\)，其中必有一个区间含有无穷多项 \(a_n\)，记此区间为 \(I_1\)，在 \(I_1\) 中选择一项 \(a_{i_1}\)；再将 \(I_1\) 等分成两份，取其中含有无穷多项 \(a_n\) 者记做 \(I_2\)，在 \(I_2\) 中选取一项 \(a_{i_2}\) 使得 \(i_2 > i_1\)，如此进行下去。令 \(I_n = [ l_n, r_n]\) ，则 \(\\{l_n\\}\) 递增有界，\(\\{r_n\\}\) 递减有界，即二者都收敛；令 \(l = \lim_{n\to\infty} l_n\)，\(r = \lim_{n\to\infty} r_n\)；又 $\lim_{n\to\infty} r_n - l_n = \lim_{n\to\infty} (b-a)/2^n = 0 $，因而 \(x = y\)。又 \(a_{i_n} \in [l_n, r_n]\) ，由夹逼原理有 \(\lim_{n\to\infty} a_{i_n} = x\)，于是 \(\\{a_{i_n}\\}\) 收敛。证毕。

再证明欧氏空间 \(\mathbb{R}^p\) 中的序列满足 B-W 定理，即

\(\mathbb{R}^p\) 中的有界序列必有收敛子列。

证明：对 \(p\) 用归纳法。我们已经证明了 \(p=1\) 时 B-W 定理成立。设 \(p= k\) 时定理成立，给定 \(\mathbb{R}^{k+1}\) 中的有界序列 \(\\{\mathbf{a}\_n\\}\)，令 \(\mathbf{a}\_n=(\mathbf{x}\_n, y_n)\)，可以证明 \(\\{\mathbf{x}\_n\\}\) 在 \(\mathbb{R}^k\) 中有界，\(\\{y_n\\}\) 在 \(\mathbb{R}\) 中有界。
取 \(\\{\mathbf{x}\_n\\}\) 的一个收敛子列 \(\\{\mathbf{x}\_{n_i}\\}\)，记其极限为 \(\mathbf{x}\)，再取 \(\\{y_{n_i}\\}\) 的一个收敛子列 \(\\{y_{n_{i_j}}\\}\)，记其极限为 \(y\)，我们有 \(\\{ \mathbf{x}\_{n\_{i\_j}} \\}\) 收敛于 \(\mathbf{x}\)，于是 \(\\{\mathbf{a}\_{n_{i_j}}\\}\) 收敛于 \((\mathbf{x},y)\) 。证毕。

\(\mathbb{R}^2\) 与 \(\mathbb{C}\) 同构，所以原命题成立。