WF 18 A 想法

UPD：我理解错题意了。

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考虑在时刻 \(t\) 从站点 \(u\) 出发的公交车，将这些车的集合记做 \(B(u,t)\)，\(B(u,t)\) 是个随机变量。
令 \(\mathrm{Pr}_{B(u,t)} = \max\\{ \mathrm{Pr}(b)\colon b\in B(u,t) \\}\)，其中 \(\mathrm{Pr}(b)\) 表示乘上公交车 \(b\) 之后（最优策略下）及时到达终点的概率。

令 \(\mathrm{Pr}(u,t)\) 表示采用「恰好在 \(t\) 时刻从站点 \(u\) 乘车出发」这一策略，及时到达终点的概率。

令 \(\mathrm{Pr}^*(u,t)\) 表示采用「在 \(t\) 时刻及以后从站点 \(u\) 乘车出发」这一策略，及时到达终点的概率。

显然有
\[
\mathrm{Pr}(b) = \mathrm{Pr}^*(\mathrm{stop}_b, t_b+1)
\]
其中 \(\mathrm{stop}_b\) 表示公交车 \(b\) 的终点站，\(t_b\) 表示公交车 \(b\) 的到站时刻。

设从 \(u\) 点出发的公交车的发车时刻从早到晚依次为 \(t_1, t_2, \dots, t_k\) 。
将 \(t_i\) 时刻计划从 \(u\) 出发的公交车按发车概率从大到小依次记做 \(b_{i,1}, b_{i,2}, \dots\)，对应的发车概率记做 \(P_{i,1}, P_{i,2}, \dots\)

则

\[\mathrm{Pr}^\*(u,t_i) = P_{i,1}\mathrm{Pr}(b_{i,1}) + (1-P_{i,1}) P_{i,2}\mathrm{Pr}(b_{i,2}) + \dots + \prod\limits_{1\le k < j}(1-P_{i,k}) P_{i,j}\mathrm{Pr}(b_{i,j}) \\\\+ \prod\limits_{1\le k\le j}(1-P_{i,k})\mathrm{Pr}^\*(u, t_{i+1}) \]

其中 \(j = \max\\{k\colon \mathrm{Pr}(b_{i,k}) \ge \mathrm{Pr}^\*(u, t_{i+1})\\}\) 。

这道题其实是个 DP 。（很有点分步计数原理——乘法原理——的味道）

关于 DP 的一点体会：

\[\mathsf{state}\\ 1 \xrightarrow{\mathsf{action}\\ A} \mathsf{state}\\ 2 \]

在很多问题中（不限于 DP 问题），找出状态空间非常重要。找到状态空间之后，自然就能意识到有哪些 \(\mathsf{action}\) 。