矩阵相关的小证明

如何用高斯消元法求矩阵的逆？

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如何判断一个矩阵是否有非零特征值？

设 \(A\) 是 \(n\) 阶方阵，则有 \(A\) 有非零特征值 \(\iff\) \(A \ne 0\) 。

证明：
\(A\) 没有非零特征值 \(\iff\) \(|\lambda I - A| = \lambda\^n \iff (\lambda I - A) \sim \lambda I \iff A = 0\)

（\(\color{red}{\mathsf{UPD}}\)：上述证明中，第二个 \(\iff\) 不成立，两个方阵特征多项式相同并不能推出二者相似，第三个 \(\iff\) 存疑）

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\(\forall A\in\mathbb R^{m\times n}\)，\(A^\mathrm{T}A\) 与 \(AA^\mathrm{T}\) 有相同的非零特征值。

证明：设 \(x\) 是 \(A^\mathrm{T}A\) 的关于特征值 \(\lambda\) 的特征向量，即
\[
A^\mathrm{T}A x = \lambda x
\]
两边同时左乘 \(A\) 得
\[
AA^\mathrm{T}(Ax) = \lambda (Ax)
\]
所以 \(\lambda\) 也是 \(AA^\mathrm{T}\) 的特征值。证毕。

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\(\forall A\in \mathbb{R}\^{n\times n}\)，\(A^{\mathrm{T}}A\) 为半正定阵。\(\newcommand{\zz}[1]{#1^{\mathrm{T}}}\) \(\newcommand{\inprod}[2]{\langle#1\,,#2\rangle}\)

证明：
首先，不难证明，\(\forall A\in \mathbb{R}\^{m\times l}, B\in\mathbb{R}^{l\times n}, (AB)\^\mathrm{T} = B\^\mathrm{T}A\^\mathrm{T}\) 。
从而易见 \(\zz{A}A\) 是对称阵。
\(\forall x\in\mathbb{R}^{n}\) 有 \(\inprod{x}{\zz{A}Ax} = \zz x\zz AAx = \zz{(Ax)}Ax = \inprod{Ax}{Ax} \ge 0\) 。
所以 \(\zz AA\) 是半正定阵。证毕。

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设 \(y_1, y_2, \dots, y_k \in\mathbb{R}^{n}\)（\(k\le n\)）线性无关。设 \(x\in\mathbb{R}^{n}\)，则有

\(x, y_1, y_2, \dots, y_k\) 线性相关 \(\iff\) \(x = \sum_{1\le i\le k} a_i y_i\)，\(a_i\in\mathbb{R}\) 。

证明：对任意不全为 \(0\) 的 \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_k\in\mathbb{R}\) 使得
\[
a_0 x + \sum_{1\le i\le k} a_i y_i = 0
\]
有 \(a_0\ne 0\)，若不然则有 \(\sum_{1\le i\le k} a_i y_i = 0\)，且 \(a_1, \dots, a_k\) 不全为 \(0\)；这与 \(y_1, \dots, y_k\) 线性无关相矛盾。