hihoCoder #1349 Nature Numbers

题目大意

考虑自然数构成的序列 \(a\)：\(01234567891011\dots\)，序列下标从 \(0\) 开始，即 \(a_0 =0, a_1 = 1\) 。
求 \(a_n\)（\(0\le n\le 10^{18}\)）。

解法

设 \(a_n\) 所在的数字为 \(x(n)\) 。
首先不难求出 \(x(n)\) 的位数， 设其为 \(k\) 。
从而可以求出 \(x(n)\) 是第几个 \(k\) 位数，这样也就求出了 \(x(n)\) 。
设 \(x(n)\) 是第 \(i\)（\(i\ge 1\)）个 \(k\) 位数，则有

\[i = \left\lceil \frac{n+1 - s_{k-1}}{k}\right\rceil \]

\(\lceil a/b \rceil\)（\(a\ge 0, b>0\)）用代码可表示为(a + b - 1) / b。
其中，\(s_{k-1}\) 表示「位数不超过 \(k-1\) 的自然数」的位数之和。
进一步，可以求出 \(a_n\) 在 \(x(n)\) 第几位。
比较方便的办法是，把个位作为第 0 位，十位作为第 1 位，百位作为第 2 位，以此类推；
这样，x 的第 j 位可以表示为 x / pow(10, j) % 10。
设 \(a_n\) 在 \(x(n)\) 的第 \(j\) 位，则有

\[j = i k - (n +1 - s_{k-1}) \]