Dinic 算法钩沉

最初是从《挑战程序设计竞赛》上了解到 Dinic 算法的。其中对于 Dinic 算法中的关键词——分层图（layered network，也称『层次图』）的引入的解释如下：

因为最短增广路（shortest augmenting path，SAP）的长度在增广过程中始终不会变短，所以无需每次都通过 BFS 来寻找 SAP。我们可以先进行一次 BFS，然后考虑由近距离顶点指向远距离顶点的边所组成的分层图，在上面进行 DFS 寻找 SAP。如果在分层图上找不到新的增广路了，则说明 SAP 的长度确实变长了，或不存在增广路了，于是重新通过 BFS 构造新的分层图。

关于

SAP 的长度在增广过程中始终不会变短

这一性质，《算法导论》上证明了一个比之更强的引理 （Lemma 26.7）：

If the Edmonds-Karp algorithm is run on a flow network \(G=(V,E)\) with source \(s\) and sink \(t\), then for all vertices \(v \in V-\{s,t\}\), the shortest-path distance \(\delta_f(s,v)\) in the residual network \(G_f\) increases monotonically with each flow augmentation.

证明如下：

将增广前后的流分别记做 \(f\) 和 \(f'\)，用 \(\delta_{f}(u,v)\) 表示在剩余网络 \(G_f\) 上 从 \(u\) 到 \(v\) 的距离。设 \(v\) 是增广后与 \(s\) 的距离变短了的所有顶点中距 \(s\) 最近（这里『距 \(s\) 最近』是指在 \(G_{f'}\) 中距 \(s\) 最近）的顶点，并设在 \(G_{f'}\) 中 \(v\) 的一个前驱为 \(u\)（即 \((u,v)\in E_{f'}\) 且 \(\delta_{f'}(s,u) < \delta_{f'}(s,v)\) ）。此时可断言 \((u,v)\notin E_f\)，即 \((u,v)\) 是 \(G_{f'}\) 中新出现的弧。从而增广路经过弧 \((v,u)\) 。（注意，此引理讨论的是 EK 算法。）EK 算法总是沿着 SAP 增广，所以 \(\delta_{f}(s,v) < \delta_{f}(s,u)\) 。再结合 \(\delta_{f'}(s,u) < delta_{f'}(s,v)\) 和 \(\delta_{f'}(s,v) < \delta_{f}(s,v)\)，得 \(\delta_{f'}(s,u) < \delta_{f}(s,u)\) ，即增广后 \(u\) 与 \(s\) 的距离也变短了，又 \(\delta_{f'}(s,u) < \delta_{f'}(s,v)\) ，从而与『\(v\) 是增广后与 \(s\) 的距离变短了的所有顶点中距 \(s\) 最近的顶点』矛盾。

类似的，可以证明在 Edmonds-Karp 算法（或者说 SAP 算法）中，每次增广后，从任一顶点 \(v\) 到汇点 \(t\) 的距离也是不减的。