hihoCoder #1117 战争年代
题目大意
对一棵树的节点染色。初始时每个点都染成颜色 \(0\),然后进行 \(m\) 轮操作。第 \(i\) 轮操作:从 \([0,d_i]\) 中随机选出一个整数 \(d\),将距离点 \(x_i\) 不超过 \(d\) 的点染成颜色 \(i\)。求最后「同色连通块」的个数的期望。
分析
期望问题的做法一般是
利用期望的线性性将所求的随机变量分解1
问题的难点正在于写出同色的连通块的个数的表达式。
同色连通块的个数 = 两端点颜色不同的边的数目 + 1 2
令 \(p^{i}[u][v]\ (u<v)\) 表示第 \(i\) 轮操作后边 \((u,v)\) 两端颜色不同的概率, \(\text{dis}^{i}[u]\) 表示 \(x_i\) 与 \(u\) 的距离。
则 $$p^{i+1}[u][v] = \frac{\text{dis}^{i+1}[u]}{d_{i+1}+1}p[u][v] + \frac{1}{d_{i+1}+1}$$
Implementation
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e3+5;
double dp[N][N];
vector<int> g[N];
int x, d;
void dfs(int u, int fa, int dis){
if(dis>d) return;
for(auto v: g[u])
if(v!=fa){
int _u=min(u, v), _v=max(u, v);
dp[_u][_v]=(dp[_u][_v]*dis+1)/(d+1);
dfs(v, u, dis+1);
}
}
int main(){
int n, m;
cin >> n >> m;
for(int i=1; i<n; i++){
int u, v;
cin >> u >> v;
g[u].push_back(v);
g[v].push_back(u);
}
for(int i=0; i<m; i++){
cin >> x >> d;
dfs(x, x, 0);
}
double res=0;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=i+1; j<=n; j++)
res+=dp[i][j];
// cout << res+1 << '\n';
printf("%.10f\n", res+1);
return 0;
}