Codeforces #765D

我在这道题上花了2个小时，仍没解出。理一下当时的思路，看看症结到底在哪里。

题意

用 \([n]\) 表示集合 \(\\{1,2,3,\dots, n\\}\) 。
3个函数
\(f \colon [n] \to [n]\)
\(g \colon [n] \to [m]\)
\(h \colon [m] \to [n]\)
满足下列两个性质

1. \(\forall x \in [m], g(h(x)) = x\)
2. \(\forall x \in [n], h(g(x)) = f(x)\)

给出 \(f\) ，求 \(g, h\) 。如有多解，任给一组。

分析

由性质1可知

• \(g\) 是满射（surjective），\(h\) 是单射（injective）

进而据性质2可知

• \(g\) 和 \(h\) 值域相同 \(\Rightarrow\) \(m\) 等于 \(f\) 的不同函数值的个数。换言之，\(h\) 是 \(f\) 值域中元素的一个排列。
• \(\forall x_1, x_2 \in [n], g(x_1) = g(x_2) \Leftrightarrow f(x_1) = f(x_2)\) 。换言之，\(h\) 和 \(f\) 相似。

至此可得有解的一个必要条件：
对于 \(f\) 值域中的任意两不同元素 \(y_1, y_2\)，\(f(y_1) \ne f(y_2)\) 。

遗憾的是，这个必要条件太弱了。
样例

2
2 1

满足条件，却是无解的。

思路到这里就断了。

现在回过头来想，问题的根源在于：

在 \(f\) 满足上面推导出的必要条件的情况下，将 \(h\) 任取为 \(f\) 值域中元素的一个排列后，再求 \(g\) 时，性质1和性质2仍可能互相矛盾。

那么是否需要枚举排列呢？

我没有认识到的是

不论如何求解 \(g\) 和 \(h\)，是否有解只取决于 \(f\) 本身。

所以应当进一步挖掘有解的必要条件甚至充要条件。

题解上的分析

\[\left. \begin{aligned} g \circ h = \mathbf{1} \\\\ h \circ g = f \end{aligned} \right\\} \Longrightarrow \begin{aligned} f \circ f &= (h \circ g) \circ (h \circ g) \\\\ &= h \circ (g \circ h) \circ g \\\\ &= h \circ \mathbf{1} \circ g \\\\ &= h \circ g \\\\ &= f \end{aligned} \]

若 \(f(x) = y\)，则 \(f(y)=f(f(x))=f(x)=y\) 。
即 \(f\) 值域中的每个元素都是 \(f\) 的不动点（fixed point）。（性质3）

这个必要条件比上面那个必要条件强得多。

下面证明
若 \(f\) 满足性质3，则将 \(h\) 取为 \(f\) 值域中元素的任意排列，依据性质2求出的 \(g\) 都满足性质1。

\(g(x) = h^{-1}(f(x))\)
\(g(h(x)) = h^{-1}(f(h(x))) = h^{-1}(h(x)) = x\)