hihoCoder #1379 Emulator

hihoCoder Challenge 23, Prob. A
时间限制:5000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB

描述

有一个$n$个点的无向正权图$G$，这个图是连通的，小Y知道这些点两两之间的最短路的长度。

小J想要构造一个新的无向正权图$G^{\prime }$，使得新图中两两之间的最短路的长度与原图一样，并且边数最少。

输入

第一行一个整数$n$，表示点的个数。

接下来$n$行，每行$n$个整数。第$i$行第$j$个整数表示$i$点到$j$点的在$G$中的最短路长度，保证合法。

$1\le n\le 300$，保证图$G$中最短路长度不超过${10}^9$。

输出

一个整数表示新图$G^{\prime }$的最小的边数。

样例输入

4
0 1 3 6
1 0 2 5
3 2 0 3
6 5 3 0

样例输出

3

---

Solution

这道题现场卡住了.
首先由题目描述可知原图$G$是连通图.
设$G=G(V,E)$, 现在不知道边集$E$, 只知道最短路矩阵$D$.

先考虑一个简化问题:

对于某条给定的边$(u,v)$, 能否从最短路矩阵判断它是否必需 ("必需"即一定存在于原图中), 如果能, 如何判断?

能. 判断方法: 判断是否 $\mathrm{\exists }x\in V\setminus$ $\{u,v\}$使得$D_{u,v}=D_{u,x}+D_{x,v}$.
证明:
$\mathrm{\forall }(u,v)\in E$, 用$w(u,v)$表示边$(u,v)$的长度. 显然$w(u,v)\ge D_{u,v}$. 又依题意, $\mathrm{\forall }(u,v),w(u,v)>0$.
$D_{u,v}=D_{u,x}+D_{x,v}$ $⟹w(u,v)<D_{u,x},w(u,v)<D_{x,v}$.

$⟹u\to x,x\to v$ 的最短路都一定不包含边 $(u,v)$. (这好像很显然:))
这样就可以放心地将边$(u,v)$从图$G$中删除, 而最短路矩阵不变.

这样就可以得出一个迭代的算法. 而且可以推出:

对于给定的最短路矩阵$D$, 与之对应的边数最少的图是唯一的.

思维链条:

某条边$(u,v)$是否必需由最短路矩阵$D$唯一确定 $\to$ 删去非必需的边后最短路矩阵$D$不变 $\to$ 删掉的边是"独立"的, 互不影响.
删边的独立性直白地说即是：只有当图$G$中存在一条能替代$(u,v)$这条边的路径时才把$(u,v)$删除。

Implementation

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=305;

int d[N][N];

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int j=0; j<n; j++)
			cin>>d[i][j];

	int res=n*(n-1)/2;

	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int j=i+1; j<n; j++){
				for(int k=0; k<n; k++){
					if(k!=i && k!=j && d[i][j]==d[i][k]+d[k][j]){
						--res;
						break;
					}
				}			
		}

	cout<<res<<endl;
	return 0;
}