hihoCoder #1379 Emulator

hihoCoder Challenge 23, Prob. A
时间限制:5000ms
单点时限:1000ms
内存限制:256MB

描述

有一个\(n\)个点的无向正权图\(G\)，这个图是连通的，小Y知道这些点两两之间的最短路的长度。

小J想要构造一个新的无向正权图\(G'\)，使得新图中两两之间的最短路的长度与原图一样，并且边数最少。

输入

第一行一个整数\(n\)，表示点的个数。

接下来\(n\)行，每行\(n\)个整数。第\(i\)行第\(j\)个整数表示\(i\)点到\(j\)点的在\(G\)中的最短路长度，保证合法。

\(1\le n \le 300\)，保证图\(G\)中最短路长度不超过\(10^9\)。

输出

一个整数表示新图\(G'\)的最小的边数。

样例输入

4
0 1 3 6
1 0 2 5
3 2 0 3
6 5 3 0

样例输出

3

---

Solution

这道题现场卡住了.
首先由题目描述可知原图\(G\)是连通图.
设\(G=G(V,E)\), 现在不知道边集\(E\), 只知道最短路矩阵\(D\).

先考虑一个简化问题:

对于某条给定的边\((u,v)\), 能否从最短路矩阵判断它是否必需 ("必需"即一定存在于原图中), 如果能, 如何判断?

能. 判断方法: 判断是否 \(\exists x \in V \setminus\) \(\{u, v\}\)使得\(D_{u,v}=D_{u,x}+D_{x,v}\).
证明:
\(\forall (u,v) \in E\), 用\(w(u,v)\)表示边\((u,v)\)的长度. 显然\(w(u,v) \ge D_{u,v}\). 又依题意, \(\forall (u,v), \ w(u,v)>0\).
\(D_{u,v}=D_{u,x}+D_{x,v}\) \(\Longrightarrow w(u,v) < D_{u,x}, \ w(u, v) < D_{x, v}\).

\(\Longrightarrow u \to x, \ x \to v\) 的最短路都一定不包含边 \((u,v)\). (这好像很显然:))
这样就可以放心地将边\((u,v)\)从图\(G\)中删除, 而最短路矩阵不变.

这样就可以得出一个迭代的算法. 而且可以推出:

对于给定的最短路矩阵\(D\), 与之对应的边数最少的图是唯一的.

思维链条:

某条边\((u,v)\)是否必需由最短路矩阵\(D\)唯一确定 \(\to\) 删去非必需的边后最短路矩阵\(D\)不变 \(\to\) 删掉的边是"独立"的, 互不影响.
删边的独立性直白地说即是：只有当图\(G\)中存在一条能替代\((u,v)\)这条边的路径时才把\((u,v)\)删除。

Implementation

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=305;

int d[N][N];

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int j=0; j<n; j++)
			cin>>d[i][j];

	int res=n*(n-1)/2;

	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int j=i+1; j<n; j++){
				for(int k=0; k<n; k++){
					if(k!=i && k!=j && d[i][j]==d[i][k]+d[k][j]){
						--res;
						break;
					}
				}			
		}

	cout<<res<<endl;
	return 0;
}