一类与数位相关的计数问题

\(f \colon \mathbb{Z}_{>0} \to \{0, 1\}\) 是关于正整数的十进制表示的函数 。

给你一个正整数 \(N\)，求 \(\sum_{i=1}^{N} f(i)\)。

记号

\(x\) 是正整数。

用 \(|x|\) 表示 \(x\) 的十进制表示的位数，例如 \(|100| = 3\)。
用 \(x_i\) 表示 \(x\) 的十进制表示里从左往右第 \(i\) 个数字，\(i\) 从 \(1\) 开始；例如 \(100_1 = 1\)，\(100_2 = 0\)。
用 \(p(x, n)\) 表示 \(x\) 的前 \(n\) 个数字组成的数，即 \(p(x, n) := \lfloor x / 10^{|x| - n} \rfloor\)，例如 \(p(1234, 2) = 12\)。
用 \(S(x, n)\) 表示 \(\sum_{i = x \cdot 10^n} ^{(x + 1) \cdot 10^{n} - 1 } f(i)\)，例如 \(S(12, 2) = \sum_{i = 1200}^{1299} f(i)\)。
用 \(T(n)\) 表示 \(\sum_{i = 10^{n - 1}}^{10^{n} -1} f(i)\)，例如 \(T(2) = \sum_{i = 10}^{99} f(i)\)。

采用上述符号，我们有
\begin{equation*}
\begin{split}
\sum_{i=1}^{N} f(i) = f(N) + \sum_{i = 1}^{|N| - 1} T(i) + \sum_{i = 1}^{N_1 - 1} S(i, |N| - 1) \ + \sum_{i = 1}^{|N| - 1} \sum_{j = 0}^{N_{i + 1}} S(10 \cdot p(N, i) + j, |N| - i - 1)
\end{split}
\end{equation*}