一个小证明

函数 $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to \mathbb{R}$ 满足
$f(1)=0$，
$f(n)=f(\lceil n/2\rceil )+1$（$n\ge 2$）。

试证明 $f(n)=\lceil {\log }_{2}n\rceil$。

证明：对 $n$ 用归纳法。以下 $n>1$。
若 $n$ 是偶数，则 $f(n)=f(n/2)+1=\lceil {\log }_{2}n/2\rceil +1=\lceil ({\log }_{2}n/2)+1\rceil =\lceil {\log }_{2}n\rceil$。 若 $n$ 是奇数，则 $f(n)=f((n+1)/2)+1=\lceil {\log }_2(n+1)/2\rceil +1=\lceil ({\log }_2(n+1)/2)+1\rceil =\lceil {\log }_2(n+1)\rceil$ 。我们要证明 $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil =\lceil {\log }_{2}n\rceil$。由 $n$ 是奇数且 $n>1$ 知 ${\log }_{2}n$ 不是整数，故有 ${\log }_{2}n<\lceil {\log }_{2}n\rceil$。若 $\lceil {\log }_{2}n\rceil <{\log }_2(n+1)$，则有 $n<2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }<n+1$。这与 $2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }$ 是整数相矛盾，所以必有 ${\log }_2(n+1)\le \lceil {\log }_{2}n\rceil$，从而有 $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil \le \lceil {\log }_{2}n\rceil$，也就是 $\lceil {\log }_2(n+1)\rceil =\lceil {\log }_{2}n\rceil$。

也可以从 $n$ 的二进制表示入手证明，不过不容易说清楚。