HHKB Programming Contest 2020, Task F Random Max
\(\newcommand{\dif}{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
题目大意
随机变量 \(x_1, \dots, x_n\)，\(x_i\) 在区间 \([L_i, R_i]\) 上均匀分布。试求 \(\max x_i\) 的期望。
数据范围
- \(n \le 1000\)
- \(0 \le L_i < R_i \le 10^9\)
- \(L_i, R_i\) 都是整数
分析
首先，\(\max x_i\) 的取值范围是 \([\max L_i, \max R_i]\)。
其次，\(\Pr(\max x_i \le x) = \prod_{i:x \le R_i} \frac{x - L_i}{R - L_i}\)。
令 \(L = \max L_i\)，\(R = \max R_i\)，有
\[\begin{aligned}
E(\max x_i) &= \int_L^R x \dif \Pr(\max x_i \le x) \\
&= x\Pr(\max x_i \le x)|_L^R - \int_L^R \Pr(\max x_i \le x) \dif x \\
&= R - \int_L^R \Pr(\max x_i \le x) \dif x
\end{aligned}
\]
于是问题归为计算定积分 \(\int_L^R \Pr(\max x_i \le x) \dif x\)。
比较方便的办法是从 \(R\) 到 \(L\) 分段计算 \(\Pr(\max x_i \le x)\) 的表达式，再进行积分。时间复杂度 \(O(n^2)\)。
总结
上述计算过程可以推广。若随机变量 \(X\) 在区间 \([L, R]\) 上取值，其累积分布函数是 \(F(x):= \Pr(X\le x)\)，\(g(X)\) 随机变量 \(X\) 的一个函数，则 \(E(g(X)) := \int_L^R g(x)\dif F(x) = g(R) - \int_L^R F(x) \dif g(x)\)。
