Codeforces Global Round 10, H ZS Shuffles Cards

本文记录 conqueror_of_tourist 提出的解法。

题目大意

考虑纸牌游戏：

牌堆由 \(\mathsf{1}\) 到 \(\mathsf{n}\) 共 \(n\) 张数字牌和 \(m\) 张鬼牌组成。初始时牌堆打乱。每回合中不断从堆顶取牌，取到鬼牌为止。记下本回合取出的数字牌。将取的牌全部放回牌堆，并将牌堆打乱。若至此全部 \(n\) 个数字都被取出过，游戏结束，否则进行下一回合。

求游戏结束时抽牌的总数的期望。

分析

第一步

\(\text{答案} = \text{一回合抽的牌数的期望} \times \text{回合数的期望}\)。

\(\text{一回合取出的牌数的期望} = \text{一回合取出的数字牌的数量的期望} + 1\)。

$\text{一回合取出的数字牌的数量的期望} = n \times \text{在一个回合中数字 \(\mathsf{1}\) 被取出的概率}$。

第二步

在一个回合中数字 \(\mathsf{1}\) 被取出的概率是 \(\frac{1}{m+1}\)。

证明：在一个回合中数字 \(\mathsf{1}\) 被取出相当于数字 \(\mathsf{1}\) 排在全部 \(m\) 张鬼牌之前。设牌堆中数字 \(\mathsf{1}\) 之前有 \(x\) 张鬼牌，\(x\) 的取值有 \(0, 1, \dots, m\) 共 \(m + 1\) 种，并且 \(x\) 取每个值的概率都相等，故在一个回合中数字 \(\mathsf{1}\) 被取出的概率为 \(\frac{1}{m+1}\)。

至此知答案为 \((\frac{n}{m+1} + 1) \times \text{回合数的期望}\)。

第三步

设在当前回合开始或进行过程中还有 \(i\) 张数字牌从未取出的条件下，（包括当前回合）游戏还要进行的回合数的期望为 \(a_i\)。边界条件是 \(a_0 = 1\)。有递推
\(a_i = \frac{m}{m + i} (a_i + 1) + \frac{i}{m+i} a_{i - 1}\)，\(i \ge 1\)。
解得，\(a_i = \frac{m}{i} + a_{i - 1}\)，\(i \ge 1\)。
即有 \(a_i = m (1 + 1/2 + \dots + 1/i) + 1\)。

注意，不能认为边界条件是 \(a_0 = 0\)。或者也可以从 \(a_1\) 满足的递推 \(a_1 = \frac{m}{m + 1} (a_1 + 1) + \frac{1}{m+1}\) 解出 \(a_1 = m + 1\) 作为边界条件。

至此知答案为 \((\frac{n}{m+1} + 1) (m (1 + 1/2 + \dots + 1/n) + 1)\)。