CF 1348F Phoenix and Memory
这个问题可以重新表述为：
给你 \(n\) 个区间 \([a_i, b_i]\)，\(1 \le a_i \le b_i \le n\)。
这里，区间 \([l, r]\) 指的是整数集合 \(\\{l, l+1, \dots, r\\}\)。
从第 \(i\) 个区间中取一个数 \(x_i\)，也就是说要求 \(a_i\le x_i \le b_i\)。
- 判断是否存在一种取数方案使得所取出的 \(n\) 个数两两不同，换言之，使得 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 恰是 \(1\) 到 \(n\) 的一个排列？
- 若可能，再判断这样的取数方案是否唯一。若唯一，输出唯一的排列，否则输出任意两个排列。
问题 1
这是一个经典问题。有两个贪心做法：
贪心做法一
将区间按右端点从小到大排序，按此顺序遍历这些区间，在每个区间中取所能取的最小的那个数。举例言之，有三个区间 \([1, 1], [1, 3], [2, 2]\)，排序后是 \([1, 1], [2, 2], [1, 3]\)。在 \([1,1]\) 中取 \(1\)，\([2, 2]\) 中取 \(2\)，\([1,3]\) 中取 \(3\)。
贪心做法二
这个做法有 \(n\) 个步骤。
\(S\) 是一个 multiset，初始为空。
第一步：将左端点等于 \(1\) 的区间的右端点加到 \(S\) 中。若 \(S\) 里的最小值小于 \(1\)，则无解，否则从 \(S\) 里的最小值对应的那个区间中选取 \(1\)，并把最小值从 \(S\) 中删除。
第二步：将左端点等于 \(2\) 的区间的右端点加到 \(S\) 中。若 \(S\) 里的最小值小于 \(2\)，则无解，否则从 \(S\) 里的最小值对应的那个区间中选取 \(2\)，并把最小值从 \(S\) 中删除。
第 \(k\) 步：将左端点等于 \(k\) 的区间的右端点加到 \(S\) 中。若 \(S\) 里的最小值小于 \(k\)，则无解，否则从 \(S\) 里的最小值对应的那个区间中选取 \(k\)，并把最小值从 \(S\) 中删除。
此贪心算法的正确性证明：https://codeforces.ml/blog/entry/76555?#comment-613974
容易看出，multiset 可换成小顶堆。
问题 2
顺着上述贪心做法二的思路我们可以判断出取数的方案是否唯一：
在第 \(k\) 步中如果 \(S\) 中至少有两个元素，并且 \(S\) 中的最小值大于 \(k\)——设 \(S\) 中的最小值和次小值对应的区间编号分别为 \(i\)，\(j\)——那么我们看能否从区间 \(j\) 中取 \(k\)。如何判断呢？
可以这样做：假设正常情况下从区间 \(j\) 取出的数是 \(x_j\)，我们看一下 \(x_j\) 能否从区间 \(i\) 中取出。
此解法来自 https://codeforces.ml/blog/entry/76555?#comment-613946
正确性我不会证明。
参考实现：https://codeforces.ml/contest/1348/submission/81636889
扩展
如何求有多少个不同的排列？
