Codeforces Round #609 (DIV 2) D. Domino for Young

题目。

我对官方题解的理解。

断言：Young 图能被多米诺骨牌填满的充要条件是：将 Young 图棋盘染色后，黑白格子的数量相等。

显然，此条件是必要的，下面证明它也是充分的。

我们用每一列的高度来表示一个 Young 图。

下面叙述一种用多米诺骨牌填充 Young 图的方法。

为了方便描述，把最右侧的那一列称为第一列，第一列左边的那一列称为第二列，以此类推。
下述方法保证：若 Young 图里的某个格子 $x$ 被多米诺骨牌所覆盖，则 $x$ 所在列中在 $x$ 上方的所有格子也被多米诺骨牌覆盖了。
显然，满足这个条件的填充方法总是存在的。下文中，我们把被多米诺骨牌覆盖了的格子看做是被删除了。

从右往左看 Young 图的每一列。

1. 若第一列的高度是偶数，则把它删除。例子：5 4 3 2 2 变成 5 4 3。若第一列的高度是奇数，则把这一列除了最底下的那一块之外的部分删除。例子：5 4 3 变成 5 4 1

2. 此时第1列高度是1，若第2列高度是奇数，则一定可以把这两列都填满并删除，回到第1步。例子：5 3 1 变成 5。若第2列的高度是偶数，则把第2列删到只剩下最底下的两格，转第3步。例子：5 4 1 变成 5 2 1。

3. 若第三列的高度和第二列的高度奇偶性相同，先把它的高度降为和第二列相同，再把第二列和第三列的高度都降为1，再把第一列和第二列删除。转第2步。

4. .....

按上述方法，最后 Young 图要么被删空，要么变成形如 $k,k-1,\dots ,2,1$，而这样的 Young 图中黑白格子的数量一定不相等。也就是说如果最初的 Young 图经棋盘染色后黑白格子数量相等，最后一定会被删空，换言之，一定能被多米诺骨牌填满。至此就证明了断言。

设输入的 Young 图经棋盘染色后有 $B$ 个黑格子和 $W$ 个白格子。显然，能填入的多米诺骨牌数量不超过 $min(B,W)$。可以证明，一定能填入 $min(B,W)$ 个多米诺骨牌。

下面证明：形如 $k,k-1,\dots ,2,1$ 的 Young 图满足条件。

0
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0
1 0
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0
1 0
0 1 0
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上图中 0 代表白色格子，1代表黑色格子。不失一般性，假设左上角的格子染成白色，这时白格子比黑格子多。对 $k$ 用归纳法。设 $k=n$ 时结论成立，则 $k=n+1$ 时比 $k=n$ 时多出了最下层的一排格子，这一层格子是黑白相间的且最右侧的格子是白的，因此这一层里的每个黑格子都可以找到一个相邻的白格子与之配对。