Codeforces Round #609 (DIV 2) D. Domino for Young
题目。
我对官方题解的理解。
断言：Young 图能被多米诺骨牌填满的充要条件是：将 Young 图棋盘染色后，黑白格子的数量相等。
显然，此条件是必要的，下面证明它也是充分的。
我们用每一列的高度来表示一个 Young 图。
下面叙述一种用多米诺骨牌填充 Young 图的方法。
为了方便描述，把最右侧的那一列称为第一列，第一列左边的那一列称为第二列，以此类推。
下述方法保证：若 Young 图里的某个格子 \(x\) 被多米诺骨牌所覆盖，则 \(x\) 所在列中在 \(x\) 上方的所有格子也被多米诺骨牌覆盖了。
显然，满足这个条件的填充方法总是存在的。下文中，我们把被多米诺骨牌覆盖了的格子看做是被删除了。
从右往左看 Young 图的每一列。
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若第一列的高度是偶数，则把它删除。例子：5 4 3 2 2 变成 5 4 3。若第一列的高度是奇数，则把这一列除了最底下的那一块之外的部分删除。例子：5 4 3 变成 5 4 1
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此时第1列高度是1，若第2列高度是奇数，则一定可以把这两列都填满并删除，回到第1步。例子：5 3 1 变成 5。若第2列的高度是偶数，则把第2列删到只剩下最底下的两格，转第3步。例子：5 4 1 变成 5 2 1。
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若第三列的高度和第二列的高度奇偶性相同，先把它的高度降为和第二列相同，再把第二列和第三列的高度都降为1，再把第一列和第二列删除。转第2步。
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按上述方法，最后 Young 图要么被删空，要么变成形如 \(k, k - 1, \dots, 2, 1\)，而这样的 Young 图中黑白格子的数量一定不相等。也就是说如果最初的 Young 图经棋盘染色后黑白格子数量相等，最后一定会被删空，换言之，一定能被多米诺骨牌填满。至此就证明了断言。
设输入的 Young 图经棋盘染色后有 \(B\) 个黑格子和 \(W\) 个白格子。显然，能填入的多米诺骨牌数量不超过 \(\min(B, W)\)。可以证明，一定能填入 \(\min(B, W)\) 个多米诺骨牌。
下面证明：形如 \(k, k - 1, \dots, 2, 1\) 的 Young 图满足条件。
0
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0
1 0
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0
1 0
0 1 0
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上图中 0 代表白色格子，1代表黑色格子。不失一般性，假设左上角的格子染成白色，这时白格子比黑格子多。对 \(k\) 用归纳法。设 \(k = n\) 时结论成立，则 \(k = n + 1\) 时比 \(k = n\) 时多出了最下层的一排格子，这一层格子是黑白相间的且最右侧的格子是白的，因此这一层里的每个黑格子都可以找到一个相邻的白格子与之配对。
