CF1244C The Football Season

The problem

Find three non-negative integers \(x\), \(y\) and \(z\) that meet the following conditions:
\begin{cases}
wx + dy = p, \\
x + y + z = n.
\end{cases}

Constraints

• \(1 \le n \le 10^{12}\)
• \(0 \le p \le 10^{17}\)
• \(1 \le d < w \le 10^{5}\)

分析

先考虑不定方程 \(wx + dy = p\)，容易排除无解的情形。
令 \(W = w / \gcd(w, d),\\ D = d / \gcd(w, d),\\ M = p / \gcd(w, d)\)。
求出 \(wx + dy = \gcd(w, d)\) 的一组特解 \(x_0, y_0\)，通解可表为

\[\begin{cases} x = Mx_0 + Dk, \\\\ y = My_0 - Wk, \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z}. \]

至此，问题归结为解不等式

\[\begin{cases} x \ge 0 \\\\ y \ge 0 \\\\ x + y \le n \end{cases} \implies \begin{cases} Mx_0 + Dk \ge 0 \\\\ My_0 -Wk \ge 0 \\\\ M(x_0 + y_0) - (W-D)k \le n \end{cases} \implies \begin{cases} k \ge -\frac{Mx_0}{D} \\\\ k \le \frac{My_0}{W} \\\\ k \ge \frac{M(x_0 + y_0) - n}{W - D} \end{cases} \]

首先要考虑的问题是

计算 \(x_0, y_0\) 的过程中会不会暴 long long？

若 \(a, b\) 是正整数，对于不定方程 \(ax + by = \gcd(a, b)\)，设扩展欧几里得算法给出特解 \(x_0, y_0\)，可以证明：

• 计算过程中所有变量的绝对值都不超过 \(\max(a, b)\)。
• \(|x_0| \le b\)，\(|y_0| \le a\)。

但是 \(Mx_0\) 或 \(My_0\) 有可能暴 long long。

比赛时，我就卡在这个地方了。实际上不必按照解不等式的路子死算。

原问题可以重新表述为：已知 \(1 \le d < w \le 10^{5}\)，未知数 \(x, y\) 是非负整数且满足 \(wx + dy = p\)，求 \(x + y\) 的最小值。把原来的不等式问题转化成求最值问题。
这里的 crucial observation 在于，当 \(x + y\) 取到最小值时必有 \(y < w\)，若不然则 \(x +d\) 和 \(y - w\) 也满足条件而和更小。因此可以枚举 \(y\) 的值，判断 \(p - dy\) 能否被 \(w\) 整除以及是否有 $ (p -dy)/w + y \le n$。这种做法就不存在计算过程暴long long的问题。