常见组合计数问题汇总

① $a_1+a_2+\cdots +a_n=r$ 的解数。
$a_i,r\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$

挡板法。$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-1}{r})$

② $a_1+a_2+\cdots +a_n\le r$ 的解数。
$a_i,r\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$

$a_1+a_2+\cdots +a_n\le r$ 与 $a_1+a_2+\cdots +a_n+a_{n+1}=r$ 的解一一对应。
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r}{r})$

③ 错位排列数
满足递推 $d_n=(n-1)(d_{n-1}+d_{n-2})$
$d_1=0$，$d_2=1$ 。

④ $a_1+a_2+\cdots +a_n\le r$ 且 $a_i\le k$ 的解数。
容斥原理。
令集合 $A$ 表示所有满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n\le r$ 的序列的集合。
令集合 $A_i$ 表示满足 $a_1+a_2+\cdots +a_n\le r$ 且 $a_i>k$ 的序列的集合。
对于 $$\begin{gathered} T\text{sse} \\ 1,2,\dots ,n \end{gathered}$$，定义 $A_T={\cap }_{i\in T}{A}_i$，则 $|A_T|=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-|T|(k+1)}{r-|T|(k+1)})$。
根据容斥原理，答案是
$$\begin{gathered} \sum _{T\in \\ 1,\dots ,n \\ }(-1{)}^{|T|}|A_T|=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+r-i(k+1)}{r-i(k+1)}) \end{gathered}$$。