常见组合计数问题汇总

① \(a_1 + a_2 + \dots + a_n = r\) 的解数。
\(a_i, r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)

挡板法。\(\binom{n + r - 1}{r}\)

② \(a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r\) 的解数。
\(a_i, r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\)

\(a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r\) 与 \(a_1 + a_2 + \dots + a_n + a_{n + 1} = r\) 的解一一对应。
\(\binom{n+r}{r}\)

③ 错位排列数
满足递推 \(d_n = (n - 1) (d_{n - 1} + d_{n - 2})\)
\(d_1 = 0\)，\(d_2 = 1\) 。

④ \(a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r\) 且 \(a_i \le k\) 的解数。
容斥原理。
令集合 \(A\) 表示所有满足 \(a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r\) 的序列的集合。
令集合 \(A_i\) 表示满足 \(a_1 + a_2 + \dots + a_n \le r\) 且 \(a_i > k\) 的序列的集合。
对于 \(T \sse \\{1, 2, \dots, n\\}\)，定义 \(A_T = \cap_{i \in T} A_i\)，则 \(|A_T| = \binom{n + r - |T|(k+1)}{r - |T|(k+1)}\)。
根据容斥原理，答案是
\(\sum_{T \in \\{1, \dots, n\\}} (-1)^{|T|} |A_T| = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i}\binom{n + r - i(k+1)}{r - i(k+1)}\)。