ABC050D/ARC066D Xor Sum

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题目大意

可表为 $(a\text{xor}b,a+b)$ 的二元组有多少个？
$a,b$ 满足下列约束条件：
① $a,b$ 是非负整数；
② $a+b\le N$，$N$ 是给定的正整数且 $N\le {10}^{18}$ 。

我的思考

考虑 $a\text{xor}b$ 的二进制表示，对其进行数位 DP。
问题转化成

$ 0 \le x < 2^k $$ 0 \le y < 2^k $$ x + y \le M$$k, M$\mathrm{给}\mathrm{定}\mathrm{且}$ 2^k \le M < 2^{k + 1}$ 。
二元组 $(x\text{xor}y,x+y)$ 有多少种不同取值？

这个问题并不容易，思路至此中断。

参考题解

https://blog.csdn.net/just_sort/article/details/54288233

Key observation
可以给 $a,b$ 增加一个约束而不改变原题目的解：
③ $a$ 的每个二进制位都不大于 $b$ 的对应二进制位。

在这三条约束下，可以证明 $(a,b)\mapsto (a\text{xor}b,a+b)$ 是单射。

证明：设 $(a_1,b_1)\ne (a_2,b_2)$ 。若 $a_1\text{xor}{b}_1=a_2\text{xor}{b}_2$ 则必有某个二进制位，在此位上某一组的值是 $(0,0)$，另一组的值是 $(1,1)$ 。考虑满足此条件的最高位，易见 $a_1+b_1\ne a_2+b_2$ 。证毕。

至此问题化为在上述三个约束下，满足 $a+b\le N$ 的二元组 $(a,b)$ 有多少个？

解法一（DP，top-down with memoization）

令 $f(N)$ 表示所求，考虑 $a,b$ 的最低位（即权重为 $2^0$ 的位），$a,b$ 在此位上的取值有三种情况：$(0,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$；得到递推

$$f(N)=f(N/2)+f((N-1)/2)+f((N-2)/2)$$

边界条件：
$f(0)=1,f(1)=2$

问题：算出 $f(N)$ 需要计算多少个状态？

据说状态数在 $(\log N{)}^2$ 的级别，我不能证明。

解法二（DP）

DP 状态

dp[i][ j ][k]：$a,b$ 的后 $i$ 位已经确定，$a+b$ 的后 $i$ 位和 $N$ 的后 $i$ 位的大小关系是 $j$（j = 0 代表小于，j = 1 代表等于，j = 2 代表大于），$k$ 表示 $a$ 的后 $i$ 位和 $b$ 的后 $i$ 位相加是否会向第 $i+1$ 位产生进位（k = 0, 1）。

转移方式

对于状态 dp[i][ j ][k]，枚举 $a,b$ 在第 $i+1$ 位上的取值，转移到状态 dp[i+1][ j' ][k' ]。

$N$ 的二进制第 $i+1$ 位是 0
dp[i][ j ][0] -- (0, 0) --> dp[i+1][ j ][0]
dp[i][ j ][0] -- (0, 1) --> dp[i+1][2][0]
dp[i][ j ][0] -- (1, 1) --> dp[i+1][ j ][1]
dp[i][ j ][1] -- (0, 0) --> dp[i+1][2][0]
dp[i][ j][1] -- (0, 1) --> dp[i+1][ j][1]
dp[i][ j][1] -- (1, 1) --> dp[i+1][ 2][1]

$N$ 的二进制第 $i+1$ 位是 1

dp[i][ j][0] -- (0, 0) --> dp[i+1][0][0]
dp[i][ j][0] -- (0, 1) --> dp[i+1][ j][0]
dp[i][ j][0] -- (1, 1) --> dp[i+1][0][1]
dp[i][ j][1] -- (0, 0) --> dp[i+1][ j][0]
dp[i][ j][1] -- (0, 1) --> dp[i+1][0][1]
dp[i][ j][1] -- (1, 1) --> dp[i+1][ j][1]

代码

https://atcoder.jp/contests/abc050/submissions/8191466

DP 状态优化

上述 dp 数组的第二维可以优化。以 j = 0 表示小于等于，j = 1 表示大于；或者以 j = 0 表示小于等于，j = 1 表示不计大小关系（即小于、等于、大于三种情况之和）。 按前一种定义，dp[i][j][k] 的转移方式为

$N$ 的二进制第 $i+1$ 位是 0
dp[i][ j ][0] -- (0, 0) --> dp[i+1][ j ][0]
dp[i][ j ][0] -- (0, 1) --> dp[i+1][1][0]
dp[i][ j ][0] -- (1, 1) --> dp[i+1][ j ][1]
dp[i][ j ][1] -- (0, 0) --> dp[i+1][1][0]
dp[i][ j][1] -- (0, 1) --> dp[i+1][ j][1]
dp[i][ j][1] -- (1, 1) --> dp[i+1][1][1]

$N$ 的二进制第 $i+1$ 位是 1

dp[i][ j][0] -- (0, 0) --> dp[i+1][0][0]
dp[i][ j][0] -- (0, 1) --> dp[i+1][ j][0]
dp[i][ j][0] -- (1, 1) --> dp[i+1][0][1]
dp[i][ j][1] -- (0, 0) --> dp[i+1][ j][0]
dp[i][ j][1] -- (0, 1) --> dp[i+1][0][1]
dp[i][ j][1] -- (1, 1) --> dp[i+1][ j][1]

参考代码
https://atcoder.jp/contests/abc050/submissions/8192354

按后一种定义，dp[i][j][k] 的转移方式为

$N$ 的二进制第 $i+1$ 位是 0
dp[i][ j ][0] -- (0, 0) --> dp[i+1][ j ][0]
dp[i][1][0] -- (0, 1) --> dp[i+1][1][0]
dp[i][ j][0] -- (1, 1) --> dp[i+1][ j ][1]
dp[i][1][1] -- (0, 0) --> dp[i+1][1][0]
dp[i][ j][1] -- (0, 1) --> dp[i+1][ j][1]
dp[i][1][1] -- (1, 1) --> dp[i+1][1][1]

$N$ 的二进制第 $i+1$ 位是 1

dp[i][1][0] -- (0, 0) --> dp[i+1][0][0]
dp[i][1][0] -- (1, 1) --> dp[i+1][0][1]
dp[i][ j][0] -- (0, 1) --> dp[i+1][ j][0]
dp[i][ j][1] -- (0, 0) --> dp[i+1][ j][0]
dp[i][ j][1] -- (1, 1) --> dp[i+1][ j][1]
dp[i][1][1] -- (0, 1) --> dp[i+1][0][1]

这种状态定义的好处是转移路径少，坏处是状态转移过程容易写错。

另一种 DP

仍按上述思路，下面介绍官方题解给出的 DP 方法。这种方法的复杂度比较清楚，并且其思想可以用于求解更为一般的数位 DP 问题。

DP 状态

dp[i][ j ]：$a+b$ 的二进制表示的第 $i$ 位及以上的部分（确切地说，权值大于等于 $2^i$ 的那些位）已经确定且不考虑第 $i$ 位以下部分，$a+b$ 的二进制第 $i$ 位及以上的部分（换言之，$a+b$ 已经确定的部分）与 $N$ 的二进制第 $i$ 位及以上的部分的差是 $j$（亦即 (N >> i) - ((a + b) >> i) == j）的情况有多少种。

举例言之，N = 10101。a + b = 1（符号 * 表示暂不考虑这些位上的值）属于状态 dp[4][0]，1 - 1 = 0；a + b = 0 属于状态 dp[4][1]，1 - 0 = 1；a + b = 00*** 属于状态 dp[3][2]，10 - 00 = 2；a + b = 10*** 属于状态 dp[3][0]，10 - 10 = 0；a + b = 100** 属于状态 dp[2][1]，101 - 100 = 1；000** 属于状态 dp[2][5]，101 - 000 = 5。

对于状态 dp[i][ j ]，注意到当 $j\ge 2$ 时，$a+b$ 的二进制第 $0$ 到 $i-1$ 位可以任意选取，共有 $3^i$ 种情况。所以 $j\ge 2$ 的状态可以用 $j=2$ 表示，因此 $j$ 可以只取 $0,1,2$ 这三个值。另外，由于只有 $j=0,1$ 的状态需要转移，在编程实现时，dp 数组的第二维取 2 即可。

转移方式

只有 dp[i][0] 和 dp[i][1] 需要转移；看 $N$ 的二进制第 $i-1$ 位上是多少，枚举 $a,b$ 的二进制第 $i-1$ 位。

（1）$N$ 的二进制第 $i-1$ 位上是 0
dp[i][0] -- (0, 0) --> dp[i - 1][0]
dp[i][1] -- (0, 0) --> dp[i - 1][2]
dp[i][1] -- (0, 1) --> dp[i - 1][1]
dp[i][1] -- (1, 1) --> dp[i - 1][0]
（2）$N$ 的二进制第 $i-1$ 位上是 1
dp[i][0] -- (0, 0) --> dp[i - 1][1]
dp[i][0] -- (0, 1) --> dp[i - 1][0]
dp[i][1] -- (0, 0) --> dp[i - 1][2]
dp[i][1] -- (0, 1) --> dp[i - 1][2]
dp[i][1] -- (1, 1) --> dp[i - 1][1]

边界条件

由于 $N\le {10}^{18}$ 而 $\log {10}^{18}\approx 59.79$，故边界条件可取为 dp[60][0] = 1, dp[60][1] = 0 。

复杂度

时间复杂度 $O(\log N)$，空间复杂度 $O(\log N)$ 。

代码

https://atcoder.jp/contests/arc066/submissions/8186588

References

https://qiita.com/259_Momone/items/86e90d17e4efe3b22433