Codeforces 1237E Perfect Balanced Binary Search Tree
Observations
含有 \(n\) 个点且 key（以下也称 key 为「权值」）是 1 到 \(n\) 的 BST 具有下列性质：
若 \(k\) 是一个非根叶子且是个左儿子，则 \(k\) 的父亲是 \(k+1\) 。
证明：假设 \(k\) 的父亲是 \(p\) 且 \(p \ne k + 1\)，则 \(p > k + 1\)；显然 \(k + 1\) 不可能是 \(k\) 的祖先。
设 \(k\) 和 \(k + 1\) 的最近公共祖先是 \(t\)，则有 \(k < t < k + 1\) 或者 $ k + 1 < t < k$，矛盾！
同理可证，若 \(k\) 是一个非根的叶子且是个右儿子，则 \(k\) 的父亲是 \(k - 1\) 。
注：上述性质也可以从「BST 的任意子树中 key 都是连续的」这个性质推出。
从而可以得出，striped BST 的所有叶子都是左儿子。
perfectly balanced BST 只有最后一层可能不满，其他层都是满的。
\(n\) 个点的 perfectly balanced BST 的高度是 \(\floor{\log n}\) 。
Q：是否只要满足
- 所有叶子节点都是左儿子
- 除了最后一层，每层都是满的
就一定存在一种填充权值的方案使得这棵树是一棵 perfectly balanced striped BST？
A：不是。
递推
有根树具有天然的递归结构。
容易看出
- perfectly balanced striped BST 的任意子树也是 perfectly balanced striped BST。
- 可以把任意一棵 \(k\) 个点的子树的权值范围变成 \(1\) 到 \(k\) 且保持其为 striped BST。换言之，我们只需要考虑权值从 1 开始的情形。这里用到了 BST 的任意子树中 key 值连续的性质。
欲求 \(n\) 个点的 perfectly balanced striped BST 的数量，可以枚举根节点的权值。一棵子树内的权值必定是连续的，根节点的权值确定后，根的左右子树的节点数就确定了。设根节点的权值是 \(r\)，则左子树中有 \(r - 1\) 个点，权值范围是 \(1\) 到 \(r - 1\)；右子树中有 \(n - r\) 个点，权值范围是 \(r + 1\) 到 \(n\) 。左子树的根的权值的奇偶性须跟 \(r\) 不同，换言之，左子树的根的权值须与其中点的个数的奇偶性相同。右子树的根节点的权值须跟 \(r\) 同奇偶。设右子树的根的权值是 \(w\)；把右子树的权值平移到 \(1\) 到 \(n - r\) 以后，\(w\) 对应于 \(w - r\)，\(w\) 与 \(r\) 同奇偶意味着 \(w - r\) 是偶数。
总而言之，一个 \(n\) 个节点，权值是 \(1, 2, \dots, n\) 的 perfectly balanced striped BST 能作为根的左子树的必要条件是其根的权值与其中节点数同奇偶；能作为根的右子树的必要条件是其根的权值是偶数。
设 \(T_1, T_2\) 是两棵 perfectly balanced striped BST。
若以 \(T_1\) 为左子树，\(T_2\) 为右子树能组合成一棵新的 perfectly balanced striped BST，则 \(T_1, T_2\) 除了需要满足上述条件外，还需满足二者高度相等或二者高度相差 \(1\) 且高度较小者是完美二叉树。
注：从上一节的分析可知，子树是完美二叉树的情形，只有一个点的树这一种情况；即下图所示的情形
不难注意到，(i) 组合成的新树可以作为左子树当且仅当新树的右子树中有偶数个点；(ii) 组合成的新树可作为右子树当且仅当新树的左子树中有奇数个点。
对于 \(n \ge 5\)，\(n\) 个点的 perfectly balanced striped BST 的根节点的左右两棵子树的高度都不小于 1 。从上一节得出的两必要条件可以推出，此时左右两子树都不是完美二叉树，这意味着二者高度相同。设 \(n\) 个点的 perfectly balanced BST 的高度是 \(h\)，则根的左右子树的高度都是 \(h - 1\) 。
考虑高度为 \(i\)（\(i \ge 2\)）的 perfectly balanced striped BST，将其中能作为高度为 \(i + 1\) 的 perfectly balanced striped BST 的根的左子树和右子树的 perfectly balanced striped BST 的「信息」分别放到两个列表 \(L_i\) 和 \(R_i\) 中。信息表为有序二元组：(节点数, 方案数)。
从 \(L_i\) 中任取一元素 \(\ell\)，从 \(R_i\) 中任取一元素 \(r\)，通过组合 \(\ell, r\) 来构造 \(L_{i + 1}\) 和 \(R_{i + 1}\) 。
\(L_{-1} = \\{(0, 1)\\}, R_{-1} = \\{(0, 1)\\}\)；\((0, 1)\) 对应于空图
\(L_0 = \\{ (1, 1)\\}, R_0 = \emptyset\)；
\(L_1 = \\{(2, 1)\\}, R_1 = \\{(2, 1)\\}\)
\(L_2 = \\{(4, 1), (5, 1)\\}, R_2 = \\{(4, 1)\\}\)；\((4, 1)\) 是由 \(L_0\) 中的 \((1,1)\) 和 \(L_1\) 中的 \((2, 1)\) 组合得到的，上图即对应于 \((4, 1)\)。
\(L_3 = \\{(9, 1), (10, 1)\\}, R_3 = \\{(10, 1)\\}\)
\(L_4 = \\{(20, 1), (21, 1) \\}, R_4 = \\{(20, 1)\\}\)
\(\vdots\)
从以上分析中不难看出，给定 \(n\)，number of perfectly balanced striped binary search trees with \(n\) vertices that have distinct integer keys between \(1\) and \(n\), inclusive 要么是 0 要么是 1。
