Codeforces 1237E Perfect Balanced Binary Search Tree

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Observations

含有 $n$ 个点且 key（以下也称 key 为「权值」）是 1 到 $n$ 的 BST 具有下列性质：

若 $k$ 是一个非根叶子且是个左儿子，则 $k$ 的父亲是 $k+1$ 。

证明：假设 $k$ 的父亲是 $p$ 且 $p\ne k+1$，则 $p>k+1$；显然 $k+1$ 不可能是 $k$ 的祖先。
设 $k$ 和 $k+1$ 的最近公共祖先是 $t$，则有 $k<t<k+1$ 或者 $k+1<t<k$，矛盾！

同理可证，若 $k$ 是一个非根的叶子且是个右儿子，则 $k$ 的父亲是 $k-1$ 。

注：上述性质也可以从「BST 的任意子树中 key 都是连续的」这个性质推出。

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从而可以得出，striped BST 的所有叶子都是左儿子。

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perfectly balanced BST 只有最后一层可能不满，其他层都是满的。

$n$ 个点的 perfectly balanced BST 的高度是 $\text{floor}\log n$ 。

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Q：是否只要满足

• 所有叶子节点都是左儿子
• 除了最后一层，每层都是满的

就一定存在一种填充权值的方案使得这棵树是一棵 perfectly balanced striped BST？
A：不是。

递推

有根树具有天然的递归结构。

容易看出

1. perfectly balanced striped BST 的任意子树也是 perfectly balanced striped BST。
2. 可以把任意一棵 $k$ 个点的子树的权值范围变成 $1$ 到 $k$ 且保持其为 striped BST。换言之，我们只需要考虑权值从 1 开始的情形。这里用到了 BST 的任意子树中 key 值连续的性质。

欲求 $n$ 个点的 perfectly balanced striped BST 的数量，可以枚举根节点的权值。一棵子树内的权值必定是连续的，根节点的权值确定后，根的左右子树的节点数就确定了。设根节点的权值是 $r$，则左子树中有 $r-1$ 个点，权值范围是 $1$ 到 $r-1$；右子树中有 $n-r$ 个点，权值范围是 $r+1$ 到 $n$ 。左子树的根的权值的奇偶性须跟 $r$ 不同，换言之，左子树的根的权值须与其中点的个数的奇偶性相同。右子树的根节点的权值须跟 $r$ 同奇偶。设右子树的根的权值是 $w$；把右子树的权值平移到 $1$ 到 $n-r$ 以后，$w$ 对应于 $w-r$，$w$ 与 $r$ 同奇偶意味着 $w-r$ 是偶数。

总而言之，一个 $n$ 个节点，权值是 $1,2,\dots ,n$ 的 perfectly balanced striped BST 能作为根的左子树的必要条件是其根的权值与其中节点数同奇偶；能作为根的右子树的必要条件是其根的权值是偶数。

设 $T_1,T_2$ 是两棵 perfectly balanced striped BST。
若以 $T_1$ 为左子树，$T_2$ 为右子树能组合成一棵新的 perfectly balanced striped BST，则 $T_1,T_2$ 除了需要满足上述条件外，还需满足二者高度相等或二者高度相差 $1$ 且高度较小者是完美二叉树。

注：从上一节的分析可知，子树是完美二叉树的情形，只有一个点的树这一种情况；即下图所示的情形

不难注意到，(i) 组合成的新树可以作为左子树当且仅当新树的右子树中有偶数个点；(ii) 组合成的新树可作为右子树当且仅当新树的左子树中有奇数个点。

对于 $n\ge 5$，$n$ 个点的 perfectly balanced striped BST 的根节点的左右两棵子树的高度都不小于 1 。从上一节得出的两必要条件可以推出，此时左右两子树都不是完美二叉树，这意味着二者高度相同。设 $n$ 个点的 perfectly balanced BST 的高度是 $h$，则根的左右子树的高度都是 $h-1$ 。

考虑高度为 $i$（$i\ge 2$）的 perfectly balanced striped BST，将其中能作为高度为 $i+1$ 的 perfectly balanced striped BST 的根的左子树和右子树的 perfectly balanced striped BST 的「信息」分别放到两个列表 $L_i$ 和 $R_i$ 中。信息表为有序二元组：(节点数, 方案数)。
从 $L_i$ 中任取一元素 $\ell$，从 $R_i$ 中任取一元素 $r$，通过组合 $\ell ,r$ 来构造 $L_{i+1}$ 和 $R_{i+1}$ 。

$$\begin{gathered} L_{-1}= \\ (0,1) \\ ,R_{-1}= \\ (0,1) \end{gathered}$$；$(0,1)$ 对应于空图
$$\begin{gathered} L_0= \\ (1,1) \\ ,R_0=\mathrm{\varnothing } \end{gathered}$$；
$$\begin{gathered} L_1= \\ (2,1) \\ ,R_1= \\ (2,1) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} L_2= \\ (4,1),(5,1) \\ ,R_2= \\ (4,1) \end{gathered}$$；$(4,1)$ 是由 $L_0$ 中的 $(1,1)$ 和 $L_1$ 中的 $(2,1)$ 组合得到的，上图即对应于 $(4,1)$。
$$\begin{gathered} L_3= \\ (9,1),(10,1) \\ ,R_3= \\ (10,1) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} L_4= \\ (20,1),(21,1) \\ ,R_4= \\ (20,1) \end{gathered}$$
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从以上分析中不难看出，给定 $n$，number of perfectly balanced striped binary search trees with $n$ vertices that have distinct integer keys between $1$ and $n$, inclusive 要么是 0 要么是 1。