Kick Start 2019 Round A Parcels

题目大意

$R\times C$ 的网格，格子间的距离取曼哈顿距离。有些格子是邮局。现在可以把至多一个不是邮局的格子变成邮局，问每个格子到最近的邮局的曼哈顿距离的最大值最小是多少。

数据范围

• $1\le R\le 250$
• $1\le C\le 250$
• 100 组测试数据
• Time limit: 15 s

分析

显然可以二分答案。

几何视角

考虑平面上的整点（也称格点）。到一个格点的曼哈顿距离不大于 $k$ 的所有格点的轮廓是一个旋转了 45° 的正方形（ For any point, the set of points within a manhattan distance of K form a square rotated by 45 degrees.），或者叫菱形。

考虑所有离现有邮局的最短距离大于 $k$ 的格点，简称「未覆盖点」，每个未覆盖点都关联着一个上一段所说的菱形。如果所有菱形的交集不为空，那么只要从交集中取一点作为新邮局即可。

这个方法的困难在于两个菱形的交集并不好计算。不过我们可以通过坐标变换，把原本的菱形变成正方形。正方形的交集是容易计算的。
这个变换在算法竞赛界称为曼哈顿距离转切比雪夫距离。

平面上两点 $ (x_1, y_1) $，$ (x_2, y_2) $ 的契比雪夫距离定义为 $max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|)$ 。

对应的坐标变换是 $(x,y)⟶(x+y,x-y)$ 。

代数视角

上述坐标变换的根源是曼哈顿距离的定义：

两点 $ (x_1, y_1) $，$ (x_2, y_2) $ 的曼哈顿距离无非是下述四个值中最大者

$ (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2) $$ (x_1 - x_2) + (y_2 - y_1) $$ (x_2 - x_1) + (y_1 - y_2) $$ (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1) $\mathrm{亦}\mathrm{即}$(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2)$$(x_1 - y_1) - (x_2 - y_2) $$(x_2 - y_2) - (x_1 - y_1) $$(x_2 + y_2) - (x_1 + y_1)$
四者的最大值。

于是有
$$\begin{array}{}\text{(1)}& |x_1-y_1|+|y_1-y_2|=max(|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)\end{array}$$

利用 $\text{(1)}$ 式，我们可以从代数视角（而非几何视角）来解决这个问题。

不妨把新邮局的坐标视作 $(x_2,y_2)$，把现有邮局尚不能覆盖的点的坐标视作 $(x_1,y_1)$ 。

问题转化为
是否存在点 $(x_2,y_2)$，满足当 $(x_1,y_1)$ 取遍未覆盖点，$\text{(1)}$ 的值始终不超过 $k$，换言之 $\text{(1)}$ 的最大值不超过 $k$ 。

注意到，当 $\text{(1)}$ 取最大值时，$x_1+y_1$，$x_1-y_1$ 必取最值（即取最大值或最小值）。

因此我们可以先遍历未覆盖点 $(x_1,y_1)$，算出 $x_1+y_1$，$x_1-y_1$ 的最值，再枚举所有可能的新邮局 $(x_2,y_2)$，求 $\text{(1)}$ 式的最大值，进行判断。