ABC128F Frog Jump
题目大意
给定一个长为 \(n\) 的数组 \(s\)，下标从 \(0\) 开始。$ 3 \le n \le 105$，$-109 \le s_i \le 10^9\(，\)s_0 = s_{n - 1} = 0$ 。
一只青蛙要在数组 \(s\) 上玩一个游戏。游戏规则如下
初始时青蛙的位置（即青蛙所在的数组下标）是 \(0\)，它的分数是 \(0\)；青蛙要选择两个正整数 \(A，B\)，并不断重复下述过程直到游戏结束：
step 1. 设青蛙当前位置是 \(x\)，跳到 \(y = x + A\) 。若 \(y = n -1\)，游戏结束；若 \(y\) 超出下标范围或者青蛙之前到过位置 \(y\)，则游戏结束，分数是 \(-\infty\)；否则分数加上 \(s_{y}\)，进行 step 2。
step 2. 设青蛙当前位置是 \(x\)，跳到 \(y = x - B\) 。 若 \(y = n -1\)，游戏结束；若 \(y\) 超出下标范围或者青蛙之前到过位置 \(y\)，则游戏结束，分数是 \(-\infty\)；否则分数加上 \(s_{y}\)，回到 step 1。
试问青蛙的游戏得分最大可能是多少？
分析
比赛时我把题意误解成每次选择 step 1 或 step 2 其中之一进行操作。
\(A = n - 1\) 是平凡情形，考虑青蛙至少跳两步且得分不是 \(-\infty\) 的情形。
此时有（i） $ 1 \le B < A \le n - 2$；（ii）青蛙的位置序列是 \(0, A, A - B, (A - B) + A, 2(A- B), 2(A- B) + A, \dots, k(A- B), k(A-B) + A = n - 1\)，且序列中无重复元素。
key observation
这个序列可以分解成两部分，从左往右，\(0, A - B, 2(A-B), \dots, k(A-B)\)；从右往左，\(n - 1 = k(A - B) + A, n - 1 -(A-B), n- 1- 2(A-B), \dots, n - 1 - k(A- B) = A\) 。
换言之，青蛙的位置序列可以分解成两个由数组 \(s\) 的下标构成的不相交（即无共同元素）的等差序列，一个从左往右，首项是 0，公差是 \(A - B\)；另一个是从右往左，首项是 \(n - 1\)，公差是 \(B - A\) 。
容易看出，青蛙的位置序列完全由 \(A - B\) 和 \(k\) 决定。于是我们可以得到一个解法：
枚举 \(A - B\) 的值；固定 \(A-B\)，再枚举 \(k\) 的值，若两等差序列无共同元素，则更新答案。
