Codeforces Round #553 F Sonya and Informatics
题目大意
给定一个长为 \(n\)（\(2 \le n \le 100\)）的01串 \(S\) 。对 \(S\) 进行 \(k\)（\(1 \le k \le 10^9\)）次操作：等概率地选取两个下标 \(i, j\)（\(1 \le i < j \le n\)），交换 \(S[i], S[j]\) 。问最后 \(S\) 单调不减的概率。
复盘
想偏了。
我往逆序对数的方向思考，但是维护逆序对数并不容易。
正解
DP。
状态描述：有多少个 0「不在其位」。
设 \(S\) 中有 \(m\) 个 0，那么不在前 \(m\) 个位置上的 \(0\) 就是不在其位的。
Key observation：最多有 \(\min(m, n - m)\) 个 0 不在其位。
Another observation：不在其位的 0 与不在其位的 1 个数相等。
令 \((i, j)\) 表示状态：前 \(i\) 次操作过后有 \(j\) 个 0 不在其位。
状态 \((i, j)\) 可能转移到 \((i+1, j), (i+1,j + 1), (i + 1, j - 1)\) 。
令 \(f[i][j]\) 表示到达转态 \((i,j)\) 的概率。
\(f[i][j]\) 的转移系数只依赖于 \(j\)，因此可以写出转移矩阵。分析至此，题目化为矩阵快速幂。
