AtCoder 神题汇总

Panasonic Programming Contest 2020 Task E Three Substrings

题目链接
又是一道好题。
2020/3/15

这道题我没想到的一个点：对于两个串 \(a, b\)，如何快速判断 \(b\) 相对于 \(a\) 偏移 \(k\) 是否可行？我只想到对二者重合的那一段逐个位置地判断。更好的方法是判断任意两个字符 \(a_i, b_j\)（\(i= 0\dots |a|, j = 0 \dots |b|\)）是否相容（a[i] == '?' || b[j] == '?' || a[i] == b[j]），若不相容则说明 \(b\) 相对于 \(a\) 偏移 \(i - j\) 不可行。这样用 \(|a|\times |b|\) 次判断就可以标记出哪些偏移量不可行。

ABC101D Snuke Number

题目。
这题太好了。怎么赞美都不为过。

ABC083D Wide Flip

ABC129F Takahashi's Basics in Education and Learning

Problem Statement

There is an arithmetic progression with \(L\) terms: \(s_0 , s_1 , s_2 , \dots , s_{L − 1}\).

The initial term is \(A\) , and the common difference is \(B\). That is, \(s_i = A + B i\) holds.

Consider the integer obtained by concatenating the terms written in base ten without leading zeros. For example, the sequence \(3 , 7 , 11 , 15 , 19\) would be concatenated into \(37111519\) . What is the remainder when that integer is divided by \(M\)?

Constraints

• All values in input are integers.
• 1 ≤ L , A , B < \(10^{18}\)
• 2 ≤ M ≤ \(10^9\)
• All terms in the arithmetic progression are less than \(10^{18}\).

Solution

From official editorial.
Paraphrasing the problem as follows

• We have two integers \(X\) and \(s\) written in base 10. Initially, $ X= 0$, \(s = A\).
• In one operation, \(s\) is appended to \(X\), then incrase \(s\) by \(B\).
• After \(N\) operations, calculate the value of \(X \bmod M\).

Denote the number of \(d\)-digit elements as \(C_d\), \(C_d\) can be easily obtained by subtracting the number of elements below \(10^{d}\) from the number of elements below \(10^{d-1}\).

The operation of concatenating \(C_d\) elements with \(d\) digits to the end of \(X\) is equivalent to repeating \((X, s) \mapsto (X \times 10d + s, s + B)\) \(C_d\) times. And this operation can be reduced to a matrix product as follows.

\begin{equation}
(X, s, 1) \begin{pmatrix} 10^d & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & B & 1 \end{pmatrix} = (X \times 10^d + s, s + B, 1)
\end{equation}

Therefore, the \(C_d\) power of this 3 × 3 matrix needs to be obtained quickly, and the result is obtained with \(O(\log C_d)\) time by the iterative square method.

If the above calculation is performed for \(d = 1, 2, \dots, 18\) in this order, the final value of \(X \bmod M\) can be obtained quickly.

Japanese Student Championship 2019 Qualification Task C Cell Inversion

题目大意

\(2N\) 个格子（cell）排成一行，从左到右编号。每个格子是黑色或白色。现要进行 \(N\) 次操作。每次操作选择两个编号不同的格子将二者之间（包括二者）的所有格子的颜色翻转。每个格子只能被选择一次。问有多少种方案使得最后所有格子都是白色。结果模 \(10^9+7\) 输出。

Observations

最终结果和操作顺序无关。即答案可表为 \(M N!\)，\(M\) 是不计顺序的方案数。

用 \((l, r)\) 表示一次操作，\(l < r\)。

对于一个方案里的两次操作 \((l_1, r_1)\)，\((l_2, r_2)\)，若 \(\max(l_1, l_2) < \min(r_1, r_2)\) 则 \((l_1, r_1),(l_2, r_2)\) 和 \((l_1, r_2), (l_2, r1)\) 效果相同。这意味着对于每个格子来说，真正重要的是它作为左端点还是作为右端点。用 \(L, R\) 分别表示一个方案中左、右端点的集合。若两个方案的左右端点合集分别相等，则这两个方案等价。

一个格子作为左端点是效果是翻转了「它和前一格子是否同色 」，而作为右端点则翻转了「它和后一格子是否同色」。
对于相邻的两个格子，若他们同为左/右端点，则二者是否同色结论将翻转，若一为左端点，一为右端点，则二则是否同色结论保持不变。据此，我们可以看出，某个格子是作为左端点还是右端点是确定的，因为最左端的格子一定是作为左端点。

余下的问题就是求左右端点的配对方案数（即上文所说的 \(M\)），不表。

ABC128F Frog Jump

Analysis

Tenka1 Programmer Contest 2019 D [Three Colors](

https://atcoder.jp/contests/tenka1-2019/tasks/tenka1_2019_d)

题目大意

有 \(n\) 个正整数 \(a_1, a_2,\dots, a_n\)（\(3\le n\le 300\)，\(1\le a_i \le 300\)）。现在要把每个数涂成红，绿，蓝，三种颜色之一。将同色的数之和分别记作 \(R,G,B\)。试求使得 \(R,G,B\) 是某三角形的三边长的涂色方案。结果模 \(998244353\) 。

分析

这道题的正解是考虑不能构成三角形的涂色方案的数量。拿总方案数 \(3^n\) 减去这个数量。

注意到 \(R,G,B\) 三个数之和固定，将此和记作 \(S\)，即 \(S = \sum_{i = 1}^{n} a_i\) 。

\(R,G,B\) 不能构成三角形的充要条件是 \(R,G,B\) 中某个数大于等于 $ S/2$ 。

又注意到，当 \(S\) 是奇数时，\(S/2\) 不是整数，上述充要条件变为 \(R,G,B\) 中某个数大于 \(S/2\) 。

我们先来考虑 \(R, G, B\) 三者中某个数大于 \(S/2\) 的方案数。
注意到 \(R,G,B\) 三者中最多有一个数可能大于 \(S/2\) 。由于染色方案的对称性，我们不妨先考虑 \(R > S/2\) 的染色方案数。我们可以用类似于背包的 DP 求出使得 \(R\) 等于某个确定值的染色方案数。令 \(f[i][j]\) 表示对前 \(i\) 个数染色，使得其中被染成红色的数之和为 \(j\) 的染色方案数。那么 \(3 \sum_{ R = \floor{S/2} + 1}^{S} f[n][R]\) 即为使得 \(R, G, B\) 三者中某个数大于 \(S/2\) 的染色方案数。

若 \(S\) 是偶数，我们可以沿用上述方法求出使得 \(R = S/2\) 的染色方案数，即 \(f[n][S/2]\) 。但是若直接把 \(3f[n][S/2]\) 加到总数里边，会导致重复计数。具体地说，这样做将使得 \(R = S/2, G = S/2, B = 0\)，\(R = S/2, G = 0, B = S/2\) 和 \(R = 0, G = S/2, B = S/2\) 这三种情况被计了两次。而这三种情况的数量即从给定的 \(n\) 个数中选择一些数使得其和为 \(S/2\) 的方案数，用类似于背包的 DP 可以求出这个数量。将此数量记作 \(k\) 。

总之，若 \(S\) 为奇数，答案是 $ 3^n - 3 \sum_{ R = \floor{S/2} + 1}^{S} f[n][R] $；若 \(S\) 为偶数，答案是 \(3^n - 3\sum_{ R = S/ 2}^{S} f[n][R] + 3k\)。

ExaWizards 2019 C Snuke the Wizard

Key observation: 最后剩下的小球最初所在的盒子必定是连续的一段。

将盒子从左到右编号为 \(1\) 到 \(n\) 。

如果最初在 \(i\) 号盒子里的小球，从左侧消失，那么 \(1\) 号到 \(i\) 号盒子中的小球必定都从左边消失了。

如果最初在 \(i\) 号盒子里的小球，从右侧消失，那么 \(i\) 号到 \(n\) 号盒子中小球必定都从右边消失了。

我们可以二分搜索最后剩下的小球最初所在的范围的左右边界。