Offer 收割编程练习赛 87B 方圆距离
与坐标轴平行的矩形和圆的位置关系。
分两种情况。
圆与矩形交集不为空
此时答案为零。问题归结为如何判断圆与矩形交集不为空。
先排除矩形顶点在圆内或圆心在矩形内。
此时，若矩形与圆交集不为空，则必有矩形的某条边穿过圆（「穿过圆」也可表述为「割圆」，「线段穿过圆」的确切定义为「线段与圆周有两个交点」）。注意：这样的边可能不止一条。
问题归结为如何判断线段是否割圆。
线段割圆的充要条件是圆心到线段所在直线的垂直投影落在线段上，且圆心到投影的距离小于半径。
矩形的左下顶点为 \((x_1, y_1)\)，右上顶点为 \((x_2, y_2)\)，圆心为 \((x, y)\)，半径为 \(r\) 。
不失一般性，考虑矩形的底边 \((x_1, y_1) , (x_2, y_1)\) 割圆的条件。
性质
在排除了矩形的某个顶点在圆内或圆心在矩形内的条件下，矩形的底边上有点在圆内当且仅当
\(x_1 < x < x_2\) 且 \(|y - y_1| \le r\) 。
其余边的情形是类似的。
圆与矩形交集为空的情形
此时应当注意到：
- 矩形上距离圆周最近的点必然在边界上。
- 矩形边界上任意一点 \(P\) 到圆周的最短距离为 \(|PC| - r\)，\(|PC|\) 表示 \(P\) 到圆心 \(C\) 的距离。
- 问题归结为求圆心 \(C\) 到矩形边界的最短距离，亦即点到线段的最短距离。
备选的点（candidates）是圆心在四条边所在的直线上的垂直投影（即垂足）与边的端点。
如果「圆心在矩形的某条边所在的直线上的垂直投影」落在这条边上则此投影点是这条边上的备选点，否则这条边的两端点是这条边上的备选点。
（这一部分内容还在建设中）
举一反三
- 如果矩形不是坐标轴平行的，通过坐标变换就可以转化到坐标轴平行的情形。
如何进行坐标变换？
首先假设我们想要的坐标变换是一个线性变换。
任取矩形的一个顶点 \(A\)，作为此线性变换的不动点。设 \(A\) 的坐标为 \((x_A, y_A)\) 。
任取 \(A\) 的一个邻点 \(B\)，使得 \(\vec{AB}\) 是变换过后的 \(x\) 轴正方向，亦即 \(B\) 变换过后的坐标为 \((x_A + |AB|, y_A)\)，\(|AB|\) 表示线段 \(AB\) 的长度。
- 将矩形换成任意凸多边形怎么做？
问题归结为求点到线段的最短距离。
